PCL：基于PCL绘制包围盒基础介绍（1）

包围盒顾名思义就是类似一个盒子把物体包围起来。

以下内容来自百科：

包围盒是一种求解离散点集最优包围空间的算法，基本思想是用体积稍大且特性简单的几何体（称为包围盒）来近似地代替复杂的几何对象。

常见的包围盒算法有AABB包围盒、包围球、方向包围盒OBB以及固定方向凸包FDH。碰撞检测问题在虚拟现实、计算机辅助设计与制造、游戏及机器人等领域有着广泛的应用，甚至成为关键技术。而包围盒算法是进行碰撞干涉初步检测的重要方法之一。

分类：

最常见的包围盒算法有AABB包围盒（Axis-aligned bounding box轴对齐包围盒），包围球（Sphere），方向包围盒OBB（Oriented bounding box）以及固定方向凸包FDH（Fixed directions hulls或k-DOP）。

AABB是应用最早的包围盒。它被定义为包含该对象，且边平行于坐标轴的最小六面体（坐标轴平行不仅指盒体与世界坐标轴平行，同时也指盒体的每个面都和一条坐标轴垂直。同一物体的不同方向，AABB也可能不同。如果物体在场景中移动变换，它的AABB也需要随之移动，当物体发生旋转时，有两种选择，用变换后的物体来重新计算AABB，或者对AABB做和物体同样的变换）。故描述一个AABB，仅需六个标量。AABB构造比较简单，存储空间小，但紧密性差，尤其对不规则几何形体，冗余空间很大，当对象旋转时，无法对其进行相应的旋转。处理对象是刚性并且是凸的，不适合包含软体变形的复杂的虚拟环境情况。

AABB内的点需要满足xyz分别满足分别大于最小的小于最大的。因此需要知道两个顶点最小点，最大点；中心点是两个顶点的中点代表了包围盒的质心。

对象的包围球被定义为包含该对象的最小的球体。确定包围球，首先需分别计算组成对象的基本几何元素集合中所有元素的顶点的x，y，z坐标的均值以确定包围球的球心，再由球心与三个最大值坐标所确定的点间的距离确定半径r。包围球的碰撞检测主要是比较两球间半径和与球心距离的大小。（由于球体只有一个自由度，所以检测球对物体方向不敏感。）

OBB是较为常用的包围盒类型。它是包含该对象且相对于坐标轴方向任意的最小的长方体（OBB是根据物体本身的几何形状来决定盒子的大小和方向，盒子不需要和坐标轴垂直）。OBB最大特点是它的方向的任意性，这使得它可以根据被包围对象的形状特点尽可能紧密的包围对象，但同时也使得它的相交测试变得复杂。OBB包围盒比AABB包围盒和包围球更加紧密地逼近物体，能比较显著地减少包围体的个数，从而避免了大量包围体之间的相交检测。但OBB之间的相交检测比AABB或包围球体之间的相交检测更费时。

FDH（k-DOP）是一种特殊的凸包，继承了AABB简单性的特点，但其要具备良好的空间紧密度，必须使用足够多的固定方向。被定义为包含该对象且它的所有面的法向量都取自一个固定的方向(k个向量)集合的凸包。FDH比其他包围体更紧密地包围原物体，创建的层次树也就有更少的节点，求交检测时就会减少更多的冗余计算，但相互间的求交运算较为复杂。

优缺点：

AABB也是比较简单的一类包围盒。但对于沿斜对角方向放置的瘦长形对象，其紧密性较差。由于AABB相交测试的简单性及较好的紧密性，因此得到了广泛的应用，还可以用于软体对象的碰撞检测。

包围球是比较简单的包围盒，而且当对象发生旋转运动时，包围球不需做任何更新，当几何对象进行频繁的旋转运动时，使用包围球可能会得到很好的结果；当对象变形时，需要重新计算其包围球。但它的紧密性是比较差的，因此较少使用。

OBB的简单性要比上面两种包围盒差，但它的紧密性是比较好的，可以大大减少参与相交测试的包围盒的数目，因此总体性能要优于AABB和包围球。当几何对象发生旋转运动后，只要对OBB进行同样的旋转即可。因此，对于刚体间的碰撞检测，OBB不失为一种较好的选择，但迄今为止，还没有一种有效的方法能够较好地解决对象变形后OBB树的更新问题，而重新计算每个结点的OBB的代价又太大，所以OBB不适用于包含软体对象的复杂环境中。

FDH相对于上面三种包围盒其紧密性是最好的，同时其相交测试算法比OBB要简单的多。可以用于软体对象的碰撞检测。

基于PCA的包围盒实现：原理如下：

OBB的生成思路简单来说就是根据物体表面的顶点，通过PCA（主成分分析）获得特征向量，即OBB的主轴。

最小包围盒的计算过程大致如下:
1.利用PCA主元分析法获得点云的三个主方向，获取质心，计算协方差，获得协方差矩阵，求取协方差矩阵的特征值和特长向量，特征向量即为主方向。
2.利用1中获得的主方向和质心，将输入点云转换至原点，且主方向与坐标系方向重回，建立变换到原点的点云的包围盒。
3.给输入点云设置主方向和包围盒，通过输入点云到原点点云变换的逆变换实现。

1.1、计算出来的协方差

主对角线的元素表示变量的方差。主对角线的元素较大则表示强信号。非主对角线的元素表示变量之间的协方差。较大的非对角线元素表示数据的畸变。

为了减小畸变，可以重新定义变量间的线性组合，将协方差矩阵对角化。协方差矩阵的的元素是实数并且对称。

协方差矩阵的特征向量表示OBB包围盒的方向。大的特征值对应大的方差，所以应该让OBB包围盒沿着最大特征值对应的特征向量的方向。

求均值

协方差矩阵

对协方差矩阵特征分解

单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。单位向量有无数个。

一个非零向量除以它的模，可得所需单位向量。一个单位向量的平面直角坐标系上的坐标表示可以是：(n,k) ，则有n²+k²=1。

计算出来的特征向量进行正交标准化。（单位向量）

2.1、将各点的（x,y,z）坐标投影到计算出的坐标轴上，求出中心和半长度。小（x,y,z表示点）大（XYZ表示标准化后找到的主方向）

做投影要用到与单位向量的内积（点乘），b向量在a向量方向上的投影： $a\cdot b=|a||b|cos\Theta$ 内积的几何意义：做投影和两向量之间的夹角。

为了确定最大和最小的范围，可以通过计算每个顶点位置坐标 $P_{i}$ 与单位向量（XYZ）的内积来完成。（可以分别求出XYZ的最大最小值）

边界盒的尺寸就是X,Y,Z三个方向上(XYZ表示找到的三个主方向即单位向量)相应内积的最大值与最小值之差，边界盒的中心O就是三对反向平面中三个平面的交点。令a,b,c分别为X,Y,Z上最大值与最小值的平均值：

那么中心点坐标就是O=aX+bY+cZ(两向量做投影/点乘/内积)。

最小包围盒顶点计算的过程大致如下:
1.输入点云转换至远点后,求得变换后点云的最大最小x,y,z轴的坐标,此时(max.x,max.y,max.z),(max.x,min.y,max.z),(max.x,max.y,min.z),(min.x,max.y,max.z),(min.x,max.y,min.z),(min.x,min.y,max.z),(min.x,min.y,max.z),(min.x,min.y,min.z)
即为变换后点云的包围盒,也是原始输入点云包围盒顶点坐标经过变化后的坐标.
2.将上述求得的6个包围盒坐标逆变换回输入点云的坐标系,即得到原始输入点云的包围盒顶点坐标.

PS：说明一下

PCA在很多地方还可以用到，笔者觉得了协方差矩阵、特征值、特征向量的几何意义是理解PCA的关键。上述代码中还用到四元数，四元数主要用于旋转变化

参照博客：https://blog.csdn.net/qq_16775293/article/details/82801240

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