在 今年期末微积分考试试题：看看你能够在两个小时内做对几道题？ 搜集到了一份期末微积分考试试题。为了对其内容进行进一步分析，对其内容进行整理如下。

§01 填空题

每个空3分，共10题

1. 求解常微分方程通解

y′=1+2x+y2+2xy2y' = 1 + 2x + y^2 + 2xy^2y′=1+2x+y2+2xy2

◎ 求解：

2xy2(x)+2x+y2(x)+1=ddxy(x)2xy^2 \left( x \right) + 2x + y^2 \left( x \right) + 1 = {d \over {dx}}y\left( x \right)2xy2(x)+2x+y2(x)+1=dxdy(x)y(x)=tan⁡(C1+x2+x)y\left( x \right) = \tan \left( {C_1 + x^2 + x} \right)y(x)=tan(C1+x2+x)

from headm import *                 # =from sympy                  import symbols,simplify,expand,print_latex
from sympy                  import *x,z = symbols('x z')
y,f,g = symbols('y f g', cls=Function)diffeq = Eq(1 + 2*x + y(x)**2 + 2*x*y(x)**2, y(x).diff(x))
print_latex(diffeq)
print_latex(dsolve(diffeq, y(x)))_ = tspexecutepythoncmd("msg2latex")
clipboard.copy(str(result))

2. 求解常微分方程通解

y′′−2y′+y=2y'' - 2y' + y = 2y′′−2y′+y=2

◎ 求解：

y(x)−2ddxy(x)+d2dx2y(x)=2y\left( x \right) - 2{d \over {dx}}y\left( x \right) + {{d^2 } \over {dx^2 }}y\left( x \right) = 2y(x)−2dxdy(x)+dx2d2y(x)=2y(x)=(C1+C2x)ex+2y\left( x \right) = \left( {C_1 + C_2 x} \right)e^x + 2y(x)=(C1+C2x)ex+2

diffeq = Eq(y(x).diff(x,x)-2*y(x).diff(x)+y(x),2)print_latex(diffeq)
print_latex(dsolve(diffeq, y(x)))

3. 求解级数极限

lim⁡n→+∞∑k=1n1n+3k\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {{1 \over {n + 3k}}} n→+∞limk=1∑nn+3k1

◎ 数值求解：

▲ 数值求解n→无穷大对应的累加和

当 n=10000n = 10000n=10000时对应的取值为：

sumn(10000): 0.46206062271704684

数值求解代码：

from headm import *                 # =def sumn(n):return sum([1/(n+3*k) for k in range(1,n+1)])ndim = [sumn(i+1) for i in range(1000)]plt.clf()
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.plot(ndim)
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("Sum(n)")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.savefig(r"d:\temp\figure1.jpg")
tspshowimage(image=r"d:\temp\figure1.jpg")printt(sumn(10000)|)

根据 Euler–Maclaurin formula ，可以将有限长累加和转换成对应的Euler-Maclauring公式。

∑k=1n1n+3k=(log⁡(4n)3−log⁡(n+3)3+12(n+3)+18n,∣14(n+3)2−164n2∣)\sum\limits_{k = 1}^n {{1 \over {n + 3k}}} = \left( {{{\log \left( {4n} \right)} \over 3} - {{\log \left( {n + 3} \right)} \over 3} + {1 \over {2\left( {n + 3} \right)}} + {1 \over {8n}},\quad \left| {{1 \over {4\left( {n + 3} \right)^2 }} - {1 \over {64n^2 }}} \right|} \right)k=1∑nn+3k1=(3log(4n)−3log(n+3)+2(n+3)1+8n1,∣∣∣∣∣4(n+3)21−64n21∣∣∣∣∣)

sumf = Sum(1/(n+3*k),(k,1,n))
result=sumf.euler_maclaurin()

所以：lim⁡n→+∞∑k=1n1n+3k=lim⁡n→+∞(log⁡(4n)3−log⁡(n+3)3+12(n+3)+18n)=13log⁡(4)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {{1 \over {n + 3k}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{{\log \left( {4n} \right)} \over 3} - {{\log \left( {n + 3} \right)} \over 3} + {1 \over {2\left( {n + 3} \right)}} + {1 \over {8n}}} \right) = {1 \over 3}\log \left( 4 \right)n→+∞limk=1∑nn+3k1=n→+∞lim(3log(4n)−3log(n+3)+2(n+3)1+8n1)=31log(4)

这个取值与前面数值计算符合的。

sympy文献参考：https://docs.sympy.org/latest/modules/concrete.html

4. 定积分求解

∫02∣1−x∣dx\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|dx}∫02∣1−x∣dx

◎ 求解：

题目所求的定积分实际上是下面函数与x轴包含的面积，根据给定的参数可以知道这个面积为1，所以：∫02∣1−x∣dx=1\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|dx} = 1∫02∣1−x∣dx=1

▲ 图1.4.1 定积分图像

5. 求函数高阶导数

f(x)=sin⁡(x3),f(15)(0)=?f\left( x \right) = \sin \left( {x^3 } \right),\,\,f^{\left( {15} \right)} \left( 0 \right) = ?f(x)=sin(x3),f(15)(0)=?

◎ 求解：

sin⁡(x3)\sin \left( {x^3 } \right)sin(x3)进行台劳级数展开：
x3−x96+x15120+O(x20)x^3 - {{x^9 } \over 6} + {{x^{15} } \over {120}} + O\left( {x^{20} } \right)x3−6x9+120x15+O(x20)

所以：f(15)(0)=1120f^{\left( {15} \right)} \left( 0 \right) = {1 \over {120}}f(15)(0)=1201

result = sin(x**3).series(x, 0, 20)
print_latex(result)

n,k,x = symbols('n,k,x')
result = integrate(abs(1-x), (x,0,2))

6. 求解积分函数导数

ddx∫x2x3sin⁡ttdt{d \over {dx}}\int_{x^2 }^{x^3 } {{{\sin t} \over t}dt}dxd∫x2x3tsintdt

◎ 求解：

−2sin⁡(x2)x+3sin⁡(x3)x- {{2\sin \left( {x^2 } \right)} \over x} + {{3\sin \left( {x^3 } \right)} \over x}−x2sin(x2)+x3sin(x3)

n,k,x,t = symbols('n,k,x,t')
result = integrate(sin(t)/t, (t,x**2,x**3))
result = result.diff(x)

7. 定积分求解

∫0πx⋅(sin⁡x)2dx\int_0^\pi {x \cdot \left( {\sin x} \right)^2 dx}∫0πx⋅(sinx)2dx

◎ 求解：

n,k,x,t = symbols('n,k,x,t')
result = integrate(x*(sin(x)**2),(x,0,pi))

∫0πx⋅(sin⁡x)2dx=π24\int_0^\pi {x \cdot \left( {\sin x} \right)^2 dx} = {{\pi ^2 } \over 4}∫0πx⋅(sinx)2dx=4π2

8. 求解微分方程解

常微分方程 y′+y=e−xy' + y = e^{ - x}y′+y=e−x满足 y(0)=0y\left( 0 \right) = 0y(0)=0的解y=y(x)y = y\left( x \right)y=y(x)的拐点的横坐标为。

◎ 求解：

常微分方程的通解为：y(x)=(C1+x)e−xy\left( x \right) = \left( {C_1 + x} \right)e^{ - x}y(x)=(C1+x)e−x

n,k,x,t = symbols('n,k,x,t')
y = Function('y')
diffeq = Eq(y(x).diff(x)+y(x), exp(-x))
result = dsolve(diffeq,y(x))

根据 y(0)=0y\left( 0 \right) = 0y(0)=0，可以得到：0=(C1+0)⋅e−0=C10 = \left( {C_1 + 0} \right) \cdot e^{ - 0} = C_10=(C1+0)⋅e−0=C1，所以常微分方程的完全解为：y(x)=x⋅e−xy\left( x \right) = x \cdot e^{ - x}y(x)=x⋅e−x

改函数对应的拐点x0x_0x0满足：y′′(x0)=0y''\left( {x_0 } \right) = 0y′′(x0)=0。y′′(x)=(x−2)e−xy''\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)e^{ - x}y′′(x)=(x−2)e−x

可以得到：x0=2x_0 = 2x0=2。

9. 求解曲线弧长

求解下面曲线段的弧长：

y=2x32,(0≤x≤1)y = 2x^{{3 \over 2}} ,\,\,\left( {0 \le x \le 1} \right)y=2x23,(0≤x≤1)

◎ 求解：

▲ 图1.9.1 曲线函数波形

曲线的y=y(x)y = y\left( x \right)y=y(x)对应的弧长公示为：L0,1=∫011+y′(x)2dxL_{0,1} = \int_0^1 {\sqrt {1 + y'\left( x \right)^2 } dx}L0,1=∫011+y′(x)2dx

上面公示的不定积分为：

L(x)=x9x2+12+log⁡(x+x2+1)6,x≥0L\left( x \right) = {{x\sqrt {9x^2 + 1} } \over 2} + {{\log \left( {x + \sqrt {x^2 + 1} } \right)} \over 6},\,\,x \ge 0L(x)=2x9x2+1+6log(x+x2+1),x≥0

定积分：L(1)=asinh(3)6+102=log⁡(3+10)6+102L\left( 1 \right) = {{{\mathop{\rm asinh}\nolimits} \left( 3 \right)} \over 6} + {{\sqrt {10} } \over 2} = {{\log \left( {3 + \sqrt {10} } \right)} \over 6} + {{\sqrt {10} } \over 2}L(1)=6asinh(3)+210=6log(3+10)+210

n,k,x,t = symbols('n,k,x,t')
result = integrate(sqrt(1+(3*x)**2),(x,0,1))

10. 分析级数无穷小阶次

设当 x→0x \to 0x→0时，下面函数为 ppp阶无穷小，则 p=p =p= 。

(sin⁡xx)13−e−x23\left( {{{\sin x} \over x}} \right)^{{1 \over 3}} - e^{ - {{x^2 } \over 3}}(xsinx)31−e−3x2

◎ 求解：

分别将表达式的两项在0点进行台劳级数展开：(sin⁡xx)13=1−0.000308641975308642x4.0−0.0555555555555556x2.0+O(x5)\left( {{{\sin x} \over x}} \right)^{{1 \over 3}} \,\, = 1 - 0.000308641975308642x^{4.0} - 0.0555555555555556x^{2.0} + O\left( {x^5 } \right)(xsinx)31=1−0.000308641975308642x4.0−0.0555555555555556x2.0+O(x5)

e−x23=1−x23+x418+O(x5)e^{ - {{x^2 } \over 3}} = 1 - {{x^2 } \over 3} + {{x^4 } \over {18}} + O\left( {x^5 } \right)e−3x2=1−3x2+18x4+O(x5)

它们之间的差对应的无穷小量的阶次 p=2p = 2p=2。

§02 解答题

共8题，写出详细的计算过程和必要的根据！

11. （10分）

讨论 ppp 取何值时，下面广义积分是收敛的。∫0+∞xpln⁡x(1+x2)2dx\int_0^{ + \infty } {{{x^p \ln x} \over {\left( {1 + x^2 } \right)^2 }}dx}∫0+∞(1+x2)2xplnxdx

◎ 求解：

▲ p值不同对应的积分

12.（10分）

求数列{n1/n},(n=1,2,3⋯)\left\{ {n^{1/n} } \right\},\,\,\left( {n = 1,2,3 \cdots } \right){n1/n},(n=1,2,3⋯)的最大项的值。

◎ 求解

数量{n1/n},(n=1,2,3⋯)\left\{ {n^{1/n} } \right\},\,\,\left( {n = 1,2,3 \cdots } \right){n1/n},(n=1,2,3⋯) 的取值变化如下图所示：

▲ N值对应函数曲线

ddn(n1/n)=n1n(−log⁡(n)n2+1n2){d \over {dn}}\left( {n^{1/n} } \right) = n^{{1 \over n}} \left( { - {{\log \left( n \right)} \over {n^2 }} + {1 \over {n^2 }}} \right)dnd(n1/n)=nn1(−n2log(n)+n21)

可以看到 n=en = en=e附近，n1/nn^{1/n}n1/n的取值最大值，综上判断，可以知道序列的最大值出现在n=3n = 3n=3，对应的最大值为：31/3≈1.44223^{1/3} \approx 1.442231/3≈1.4422。

13. （13分）

函数 f(x)={e1x,x≠00,x=0f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} {e^{{1 \over x}} ,\,\,x \ne 0}\\{0,\,\,\,\,x = 0}\\\end{matrix} \right.f(x)={ex1,x=00,x=0 讨论函数 f(x)f\left( x \right)f(x)的连续性，并求 f(x)f\left( x \right)f(x)的单调区间、极值点与极值、凸性区间、拐点和渐进线。

● 求解：

f(x)f\left( x \right)f(x)在0附近函数图像，可以知道改函数在0点附近不连续。

▲ f(x)在0附近的函数图像

下图是1/x1/x1/x在0附近的函数图像。

▲ 1/x在0附近的函数图像

Ⅰ.区间 0 ∞

f′(x)=−e1xx2f'\left( x \right) = - {{e^{{1 \over x}} } \over {x^2 }}f′(x)=−x2ex1

f′′(x)=(2+1x)e1xx3f''\left( x \right) = {{\left( {2 + {1 \over x}} \right)e^{{1 \over x}} } \over {x^3 }}f′′(x)=x3(2+x1)ex1

在 x>0x > 0x>0，x<0x < 0x<0区间内，函数是单调下降，下凹，渐进性是x轴。

14. （12分）

设曲线段 Γ\GammaΓ 为圆心在点（0,1）的单位圆周位于正方形 0≤x≤1,0≤y≤10 \le x \le 1,\,\,0 \le y \le 10≤x≤1,0≤y≤1的部分，平面区域 DDD为由 Γ\GammaΓ，xxx轴以及直线 x=1x = 1x=1 围城的有界区域。

▲ 图2.4.1 曲线段Gama

（I）求区域 DDD 饶 xxx轴旋转一周所产生的旋转体体积；
（II）求曲线段 Γ\GammaΓ 绕 xxx 轴旋转一周所产生的旋转面面积；

● 求解：

Ⅰ.求解旋转体体积

V=∫0π2π(1−cos⁡θ)2⋅cos⁡θ⋅dθ=π(−π2+53)V = \int_0^{{\pi \over 2}} {\pi \left( {1 - \cos \theta } \right)^2 \cdot \cos \theta \cdot d\theta } = \pi \left( { - {\pi \over 2} + {5 \over 3}} \right)V=∫02ππ(1−cosθ)2⋅cosθ⋅dθ=π(−2π+35)

▲ 图2.4.2 另外一种分析方法

V=∫01π[1−(1−x2)0.5]2dx=π(−π2+53)V = \int_0^1 {\pi \left[ {1 - \left( {1 - x^2 } \right)^{0.5} } \right]^2 dx} = \pi \left( { - {\pi \over 2} + {5 \over 3}} \right)V=∫01π[1−(1−x2)0.5]2dx=π(−2π+35)

Ⅱ.求解旋转体面积

S=∫0π22π⋅(1−cos⁡(θ))⋅dx=2π(−1+π2)S = \int_0^{{\pi \over 2}} {2\pi \cdot \left( {1 - \cos \left( \theta \right)} \right) \cdot dx = } 2\pi \left( { - 1 + {\pi \over 2}} \right)S=∫02π2π⋅(1−cos(θ))⋅dx=2π(−1+2π)

S=∫012π[1−1−x2]1−x2dx=2π(−1+π2)S = \int_0^1 {{{2\pi \left[ {1 - \sqrt {1 - x^2 } } \right]} \over {\sqrt {1 - x^2 } }}dx = } 2\pi \left( { - 1 + {\pi \over 2}} \right)S=∫011−x22π[1−1−x2]dx=2π(−1+2π)

15. （10分）

求常微分方程的初值问题的解（x<1x < 1x<1）。

{1+(y′)2=(1−x)⋅y′′y(0)=0y′(0)=0\left\{ \begin{matrix} {\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } = \left( {1 - x} \right) \cdot y''}\\{y\left( 0 \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y'\left( 0 \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\end{matrix} \right.⎩⎪⎨⎪⎧1+(y′)2=(1−x)⋅y′′y(0)=0y′(0)=0

● 求解：

16. （5分）

设 f∈C(0,+∞)f \in C\left( {0, + \infty } \right)f∈C(0,+∞)，并且 ∀a>0,b>1\forall a > 0,b > 1∀a>0,b>1，都有积分∫aabf(x)dx\int_a^{ab} {f\left( x \right)dx}∫aabf(x)dx 与 aaa 无关。
求证：存在常数 CCC，使得 f(x)=Cx,x∈(0,+∞)f\left( x \right) = {C \over x},\,\,x \in \left( {0, + \infty } \right)f(x)=xC,x∈(0,+∞)

17. （5分）

设 f(x)f\left( x \right)f(x)在 [0,1]\left[ {0,1} \right][0,1] 上非负连续，且满足：f2(x)≤1+2∫0xf(t)dt,x∈[0,1]f^2 \left( x \right) \le 1 + 2\int_0^x {f\left( t \right)dt} ,\,\,x \in \left[ {0,1} \right]f2(x)≤1+2∫0xf(t)dt,x∈[0,1] 证明：f(x)≤1+x,x∈[0,1]f\left( x \right) \le 1 + x,\,\,x \in \left[ {0,1} \right]f(x)≤1+x,x∈[0,1]

18. （5分）

设：p(x)=xn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0p\left( x \right) = x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0p(x)=xn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0 为实系数 nnn 次多项式。若 p(x)≥0,x∈(−∞,+∞)p\left( x \right) \ge 0,\,\,x \in \left( { - \infty , + \infty } \right)p(x)≥0,x∈(−∞,+∞)

证明：p(x)+p′(x)+⋯+p(n)(x)≥0,x∈(−∞,+∞)p\left( x \right) + p'\left( x \right) + \cdots + p^{\left( n \right)} \left( x \right) \ge 0,\,\,x \in \left( { - \infty , + \infty } \right)p(x)+p′(x)+⋯+p(n)(x)≥0,x∈(−∞,+∞)

这里 p′(x),p′′(x),⋯,p(n)(x)p'\left( x \right),p''\left( x \right), \cdots ,p^{\left( n \right)} \left( x \right)p′(x),p′′(x),⋯,p(n)(x)表示 p(x)p\left( x \right)p(x)的一阶、二阶以及 nnn阶导数。

● 证明：

证明过程请参见： 正值实系数多项式函数所对应的导数累加和是否非负？

§03 附加题

本题全对才给分，其分数不计入总评，仅用于评判（A+）

1. 附加题内容

设 h>0h > 0h>0， f(x)f\left( x \right)f(x)为闭区间[−h,h]\left[ { - h,h} \right][−h,h]上的无穷可导函数，且 ∀x∈[0,h]\forall x \in \left[ {0,h} \right]∀x∈[0,h]，以及任意的非负整数 nnn，都有 f(n)(x)≥0f^{\left( n \right)} \left( x \right) \ge 0f(n)(x)≥0。记 rn(x)=1n!∫0x(x−t)nf(n+1)(t)dtr_n \left( x \right) = {1 \over {n!}}\int_0^x {\left( {x - t} \right)^n f^{\left( {n + 1} \right)} \left( t \right)dt}rn(x)=n!1∫0x(x−t)nf(n+1)(t)dt 求证：∀x∈(0,h)\forall x \in \left( {0,h} \right)∀x∈(0,h)，均有lim⁡n→+∞rn(x)=0\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } r_n \left( x \right) = 0n→+∞limrn(x)=0

● 证明：

本题的证明过程参见： 期末考试中微积分的证明题的分析：Taylor级数展开 。

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期末微积分考试试题求解 ：利用python求解

§01 填空题

1. 求解常微分方程通解

y′=1+2x+y2+2xy2y' = 1 + 2x + y^2 + 2xy^2y′=1+2x+y2+2xy2

◎ 求解：

2. 求解常微分方程通解

y′′−2y′+y=2y'' - 2y' + y = 2y′′−2y′+y=2

◎ 求解：

3. 求解级数极限

lim⁡n→+∞∑k=1n1n+3k\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {{1 \over {n + 3k}}} n→+∞lim​k=1∑n​n+3k1​

◎ 数值求解：

4. 定积分求解

∫02∣1−x∣dx\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|dx}∫02​∣1−x∣dx

◎ 求解：

5. 求函数高阶导数

f(x)=sin⁡(x3),f(15)(0)=?f\left( x \right) = \sin \left( {x^3 } \right),\,\,f^{\left( {15} \right)} \left( 0 \right) = ?f(x)=sin(x3),f(15)(0)=?

◎ 求解：

6. 求解积分函数导数

ddx∫x2x3sin⁡ttdt{d \over {dx}}\int_{x^2 }^{x^3 } {{{\sin t} \over t}dt}dxd​∫x2x3​tsint​dt

◎ 求解：

7. 定积分求解

∫0πx⋅(sin⁡x)2dx\int_0^\pi {x \cdot \left( {\sin x} \right)^2 dx}∫0π​x⋅(sinx)2dx

◎ 求解：

8. 求解微分方程解

常微分方程 y′+y=e−xy' + y = e^{ - x}y′+y=e−x满足 y(0)=0y\left( 0 \right) = 0y(0)=0的解y=y(x)y = y\left( x \right)y=y(x)的拐点的横坐标为 。

◎ 求解：

9. 求解曲线弧长

求解下面曲线段的弧长：

y=2x32,(0≤x≤1)y = 2x^{{3 \over 2}} ,\,\,\left( {0 \le x \le 1} \right)y=2x23​,(0≤x≤1)

◎ 求解：

10. 分析级数无穷小阶次

设当 x→0x \to 0x→0时，下面函数为 ppp阶无穷小，则 p=p =p= 。

(sin⁡xx)13−e−x23\left( {{{\sin x} \over x}} \right)^{{1 \over 3}} - e^{ - {{x^2 } \over 3}}(xsinx​)31​−e−3x2​

◎ 求解：

§02 解答题

11. （10分）

讨论 ppp 取何值时，下面广义积分是收敛的。∫0+∞xpln⁡x(1+x2)2dx\int_0^{ + \infty } {{{x^p \ln x} \over {\left( {1 + x^2 } \right)^2 }}dx}∫0+∞​(1+x2)2xplnx​dx

◎ 求解：

12.（10分）

求数列{n1/n},(n=1,2,3⋯)\left\{ {n^{1/n} } \right\},\,\,\left( {n = 1,2,3 \cdots } \right){n1/n},(n=1,2,3⋯)的最大项的值。

◎ 求解

13. （13分）

● 求解：

Ⅰ.区间 0 ∞

14. （12分）

设曲线段 Γ\GammaΓ 为圆心在点（0,1）的单位圆周位于正方形 0≤x≤1,0≤y≤10 \le x \le 1,\,\,0 \le y \le 10≤x≤1,0≤y≤1的部分，平面区域 DDD为由 Γ\GammaΓ，xxx轴以及直线 x=1x = 1x=1 围城的有界区域。

（I） 求区域 DDD 饶 xxx轴旋转一周所产生的旋转体体积； （II）求曲线段 Γ\GammaΓ 绕 xxx 轴旋转一周所产生的旋转面面积；

● 求解：

Ⅰ.求解旋转体体积

Ⅱ.求解旋转体面积

15. （10分）

求常微分方程的初值问题的解 （x<1x < 1x<1）。

● 求解：

16. （5分）

17. （5分）

18. （5分）

● 证明：

§03 附加题

1. 附加题内容

● 证明：

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期末微积分考试试题求解：利用python求解

lim⁡n→+∞∑k=1n1n+3k\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {{1 \over {n + 3k}}} n→+∞limk=1∑nn+3k1

∫02∣1−x∣dx\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|dx}∫02∣1−x∣dx

ddx∫x2x3sin⁡ttdt{d \over {dx}}\int_{x^2 }^{x^3 } {{{\sin t} \over t}dt}dxd∫x2x3tsintdt

∫0πx⋅(sin⁡x)2dx\int_0^\pi {x \cdot \left( {\sin x} \right)^2 dx}∫0πx⋅(sinx)2dx

常微分方程 y′+y=e−xy' + y = e^{ - x}y′+y=e−x满足 y(0)=0y\left( 0 \right) = 0y(0)=0的解y=y(x)y = y\left( x \right)y=y(x)的拐点的横坐标为。

y=2x32,(0≤x≤1)y = 2x^{{3 \over 2}} ,\,\,\left( {0 \le x \le 1} \right)y=2x23,(0≤x≤1)

(sin⁡xx)13−e−x23\left( {{{\sin x} \over x}} \right)^{{1 \over 3}} - e^{ - {{x^2 } \over 3}}(xsinx)31−e−3x2

讨论 ppp 取何值时，下面广义积分是收敛的。∫0+∞xpln⁡x(1+x2)2dx\int_0^{ + \infty } {{{x^p \ln x} \over {\left( {1 + x^2 } \right)^2 }}dx}∫0+∞(1+x2)2xplnxdx

（I）求区域 DDD 饶 xxx轴旋转一周所产生的旋转体体积；
（II）求曲线段 Γ\GammaΓ 绕 xxx 轴旋转一周所产生的旋转面面积；

求常微分方程的初值问题的解（x<1x < 1x<1）。

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