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【题目描述】

【输入输出格式】

输入格式：

输出格式：

【输入输出样例】

输入样例：

5 1 1 2 2

输出样例：

643

【标签】

模拟，数学推演。

【分析】

考虑通过发现规律来简化计算。

基本想法：

从题目中可以发现，第二、三座塔对应格子的乘积可以化成平方差，而每个格子的被减的平方项就是当前所在的层（每一圈算作一层）的右下角的值的平方，减数则是从右下角顺时针或者逆时针前进到达当前格子所用的步数（左上角的格子需单独处理）。

因此，从每层的左下角出发顺时针或者逆时针前进，直到左上角之前所经过的位置的二、三座塔的乘积之和为 \(\sum_{i=0}^{s}p^2-i^2\) ，其中 \(p\) 为当前层的右下角的值，\(s\) 为走到当前位置需要用的步数。

改进：

由于本题所被发现的性质依赖每一层的左下角的格子的值，因此本题可以通过“右下缀和”来更方便地计算答案。

通过一个值 \(c\) 来维护当前层的左下角格子的值（ \(c\) 可找规律），并从最外层开始一层一层往内统计，每层都顺时针和逆时针走到不能走为止，最后将答案相加取模即可（还有第一层塔不能忽略，并且右下角的格子会被计算两次需要去掉一次或单独计算）。

每层的值可以化成 \(k*(s*p^2-\sum\limits_{i=0}^{s}i^2)\)，其中 \(k\) 为第一座塔对应的值 （每一层对应的第一座塔的值是相等的），而 \(\sum\limits_{i=0}^{s}i^2\) 为平方数列前 \(n\) 项和，可通过公式 \(\frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6}\) 来计算。

【代码】

[C++]

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const LL Mod = 26281314;LL n, X1, Y1, X2, Y2;LL Do(LL X){return X*(X+1)/2*(2*X+1)/3%Mod;}  //计算平方数列前n项和
LL Work(LL X, LL Y){LL r=n, mid=n/2+1, sum=0, c=1;  //c维护每层的右下角值与左上角值while(r>=X && r>=Y && r>=mid){  //从最外层往内统计LL s1=0, s2=0, l=n-r+1;  //s1、s2为步数，l为当前层的左上角的横纵坐标（横纵坐标相等）if(l==r){  //当到达最中心一格时sum += c%Mod*c%Mod*r%Mod;sum %= Mod;break;}if(Y<=l){  //能向上走到底s1 += r-l;if(X<=l) s1 += r-l-1;  //能向左走到底else s1 += r-X;}else s1 += r-Y;if(X<=l){  //能向左走到底s2 += r-l;if(Y<=l) s2 += r-l-1;  //能像上走到底else s2 += r-Y;}else s2 += r-X;if(X<=l && Y<=l){  //能走到左上角的格子sum += c*l%Mod*c;sum %= Mod;}c += (n-(n-r)*2-1)*2;  //变为右下角的值c %= Mod;sum = ((sum+l*s1%Mod*c%Mod*c%Mod-Do(s1)*l%Mod+Mod)%Mod+Mod)%Mod;sum = ((sum+l*s2%Mod*c%Mod*c%Mod-Do(s2)*l%Mod+Mod)%Mod+Mod)%Mod;sum = (sum+l*c%Mod*c%Mod)%Mod;  //统计上右下角的值c += (n-(n-r)*2-1)*2;  //变为下一层左上角的值c %= Mod;r--;}return sum;
}
int main(){cin>>n>>X1>>Y1>>X2>>Y2;LL ans = Work(X1, Y1);ans = (ans-Work(X1, Y2+1)+Mod)%Mod;  //“右下缀和”ans = (ans-Work(X2+1, Y1)+Mod)%Mod;ans = (ans+Work(X2+1, Y2+1))%Mod;cout<<ans<<endl;return 0;
}

【补充】

记得随时取模，多取模，拼命地取模！

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