斐波那契数列

斐波那契数列递推

F(1)=1,F(0)=0F(1)=1,F(0)=0F(1)=1,F(0)=0
F(n)=F(n−1)+F(n−2)F(n)=F(n-1)+F(n-2)F(n)=F(n−1)+F(n−2)

斐波那契数列的通项公式

F(n)=15[(1+52)n−(1−52)n]F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt 5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n]F(n)=51[(21+5)n−(21−5)n]

斐波那契数列的一些恒等式子

1:F(1)+F(2)+F(3)+...+F(n)=F(n+2)−11:F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(n) = F(n+2)-11:F(1)+F(2)+F(3)+...+F(n)=F(n+2)−1
2:F(1)2+F(2)2+F(3)2+..+F(n)2=F(n)∗F(n+1)2:F(1)^2+F(2)^2+F(3)^2+..+F(n)^2=F(n)*F(n+1)2:F(1)2+F(2)2+F(3)2+..+F(n)2=F(n)∗F(n+1)
3:F(1)+F(3)+F(5)+..F(2n−1)=F(2n)3:F(1)+F(3)+F(5)+..F(2n-1)=F(2n)3:F(1)+F(3)+F(5)+..F(2n−1)=F(2n)
4:F(2)+F(4)+F(6)+..+F(2n)=F(2n+1)−14:F(2)+F(4)+F(6)+..+F(2n)=F(2n+1)-14:F(2)+F(4)+F(6)+..+F(2n)=F(2n+1)−1
5:F(n=F(m)F(n−m+1)+F(m−1)F(n−m)ps:n>=m5:F(n=F(m)F(n - m + 1) + F(m - 1)F(n - m) ps:n>=m5:F(n=F(m)F(n−m+1)+F(m−1)F(n−m)ps:n>=m
6:F(n−1)F(n+1)=F(n)2+(−1)n6:F(n-1)F(n + 1)=F(n)^2+(-1)^n6:F(n−1)F(n+1)=F(n)2+(−1)n

斐波那契相关性质

性质1：gcd(F(n),F(m))=F(gcd(n,m))性质1：gcd(F(n),F(m))=F(gcd(n,m))性质1：gcd(F(n),F(m))=F(gcd(n,m))
gcd(F(n),F(m))=gcd(F(m)F(n−m+1)+F(m−1)F(n−m),F(m))=gcd(F(n−m),F(m))gcd(F(n),F(m))=gcd(F(m)F(n-m+1)+F(m-1)F(n-m),F(m))=gcd(F(n-m),F(m))gcd(F(n),F(m))=gcd(F(m)F(n−m+1)+F(m−1)F(n−m),F(m))=gcd(F(n−m),F(m))
性质2:n∣m<=>F(n)∣F(m)性质2:n|m<=>F(n)|F(m)性质2:n∣m<=>F(n)∣F(m)

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