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Description

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Solution

垃圾语文题毁我青春

这题其实就是重定义了俩函数....

首先 \(\varphi(1)=0\) 。

然后 \(2\) 在计算 \(\mu\) 的时候不算做质因子，含 \(2\) 的数 \(\mu\) 值 \(=0\) 。

求 \(m\) 的所有因数中 , \(\mu=1,-1,0\) 的 \(\varphi\) 值之和。

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先考虑 \(\mu=1,-1\) 的答案。

根据 \(\mu\) 的定义，此时所有所求的数字都满足，分解质因数每一个质因数的质数至多为 \(1\) 。

然后 仅对于这些数 欧拉函数就有了一个新的计算公式：
\[ \varphi(n)=n\times {\frac{p_1-1}{p_1}}\times {\frac{p_2-1}{p_2}}\times ...\times {\frac{p_m-1}{p_m}}=(p_1-1)\times (p_2-1)\times ...\times (p_3-1) \]
发现这是一个质数集合选哪些的问题。

注意到每次多选一个质数，所有的数字答案都乘上了相同的数，所以可以直接求答案。

用一种类似动规的写法，依次考虑每一个位置选或不选。

记\(ans_1\)表示选奇数个质因子，\(ans_2\) 表示选偶数个质因子的答案。
\[ ans_1+=ans_2\times (p_i-1)，ans_2+=ans_1\times (p_i-1) \]
可以思考一下加号连接的含义。

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然后就只需要解决 \(\mu=0\) 的部分了。

关于欧拉函数其实有一个等式
\[ \sum_{d|m}\varphi(d)=m \]
然后问题解决，答案就是 \(m-ans_1-ans_2-1\)，之所以多减掉一个 \(1\) 是因为 \(\varphi(1)=0\) 。

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Code

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define mod 10000
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;inline int rd(){int x=0; bool f=0; char c=gc();while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}return f?-x:x;
}inline int qpow(int x,int t){int res=1;while(t){if(t&1) (res*=x)%=mod;(x*=x)%=mod; t>>=1;}return res;
}int n,m=1,p,cnt,tmp,ansodd,anseven=1;int main(){int n=rd();for(R int i=1;i<=n;++i){p=rd(); cnt=rd();(m*=qpow(p,cnt))%=mod;if(p>2){tmp=ansodd;(ansodd+=anseven*(p-1))%=mod;(anseven+=tmp*(p-1))%=mod;}}printf("%d\n%d\n%d\n",(anseven-1+mod)%mod,ansodd,((m-anseven-ansodd)%mod+mod)%mod);return 0;
}