题意：

给你一个大轮盘，被分成了nnn个区域0,1,2,..,n−10,1,2,..,n-10,1,2,..,n−1，每个区域被转到的概率是ai∑j=0n−1aj\frac{a_i}{\sum_{j=0}^{n-1}a_j}∑j=0n−1ajai，转到第iii个区域的时候得分是iii。现在你初始有x=0x=0x=0分，每次转动轮盘假设得到了yyy分，那么如果x⊕y≤xx\oplus y\le xx⊕y≤x的话，当前得分不会变化，否则将x=x⊕yx=x\oplus yx=x⊕y，当得分达到n−1n-1n−1的时候立即停止，问你转转盘轮数的期望。
2≤n≤2162\le n\le2^{16}2≤n≤216，且nnn为222的幂次。

思路：

以下我们约定：aia_iai代表得分为iii的概率。
考虑期望dpdpdp，我们这里倒着来推，所以设f[i]f[i]f[i]表示当得分为iii的时候还需要进行的轮数期望是多少，很容易就可以得到n2n^2n2的一个转移方程：fi=∑j=0n−1[(i⊕j)>i](fi⊕j+1)∗aj+∑j=0n−1[(i⊕j≤i)](fi+1)∗ajf_i=\sum_{j=0}^{n-1}[(i\oplus j)>i](f_{i\oplus j}+1)*a_j+\sum_{j=0}^{n-1}[(i\oplus j\le i)](f_i+1)*a_jfi=j=0∑n−1[(i⊕j)>i](fi⊕j+1)∗aj+j=0∑n−1[(i⊕j≤i)](fi+1)∗aj
考虑到方程两边都有f[i]f[i]f[i]，我们进行移项：
fi=∑j=0n−1aj+∑j=0n−1[(i⊕j)>i]fi⊕j∗aj1−∑j=0n−1[(i⊕j≤i)]ajf_i=\frac{\sum_{j=0}^{n-1}a_j+\sum_{j=0}^{n-1}[(i\oplus j)>i]f_{i\oplus j}*a_j}{1-\sum_{j=0}^{n-1}[(i\oplus j\le i)]a_j}fi=1−∑j=0n−1[(i⊕j≤i)]aj∑j=0n−1aj+∑j=0n−1[(i⊕j)>i]fi⊕j∗aj
这个式子一眼看去只能n2n^2n2求，可以发现瓶颈就在∑j=0n−1[(i⊕j)>i]fi⊕j∗aj\sum_{j=0}^{n-1}[(i\oplus j)>i]f_{i\oplus j}*a_j∑j=0n−1[(i⊕j)>i]fi⊕j∗aj这个式子上，我们将其化简一下，设x=i,y=j,z=x⊕yx=i,y=j,z=x\oplus yx=i,y=j,z=x⊕y，f(x)=∑x⊕y=z,z>xf(z)a(y)f(x)=\sum_{x\oplus y=z,z>x}f(z)a(y)f(x)=∑x⊕y=z,z>xf(z)a(y)，看到f(x)f(x)f(x)的式子很像异或卷积，所以为了更直观，继续化简f(x)=∑z⊕y=x,z>xf(z)a(y)f(x)=\sum_{z\oplus y=x,z>x}f(z)a(y)f(x)=∑z⊕y=x,z>xf(z)a(y)。
观察可知，那么去掉z>xz>xz>x的条件的话，这个就是一个异或卷积的裸式子了，考虑到对于iii只有>i>i>i的fff能对其有贡献，所以考虑cdqcdqcdq分治来计算这个式子，就可以去掉z>xz>xz>x这个条件了。在分治的过程中，只需要先递归计算右边的值，让后计算当前左区间的值，再递归左区间处理子问题即可。
但是问题还没有解决，a(y)a(y)a(y)怎么确定呢？在卷的过程中我们需要保证所有aaa都需要符合条件才可，不然会卷出来其他不合法的答案。考虑当前区间分成的两部分[l,mid],[mid+1,r][l,mid],[mid+1,r][l,mid],[mid+1,r]对应的二进制分别是[xxx000,xxx011],[xxx100,xxx111][xxx000,xxx011],[xxx100,xxx111][xxx000,xxx011],[xxx100,xxx111]，发现了什么？我们计算左区间的时候，他们的aaa是那些部分呢？显然答案应该是aaa中下标在[100,111][100,111][100,111]的范围内的数，可以发现左区间[xxx000,xxx011][xxx000,xxx011][xxx000,xxx011]异或上区间内任何一个数都会准确的落在右区间的某个位置，且只有这些数能落在右区间。所以卷的时候让右区间的fff和上面的aaa对应区间卷起来即可。
递归到l=rl=rl=r的时候直接计算答案即可。

// Problem: Gambling Monster
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11257/D
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 2000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
//#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<random>
#include<cassert>
#define X first
#define Y second
#define L (u<<1)
#define R (u<<1|1)
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define Mid ((tr[u].l+tr[u].r)>>1)
#define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1)
#define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1))
#define db puts("---")
using namespace std;//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); }
//void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); }
//void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;const int N=100010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-6;int n;
int a[N],b[N],c;
LL f[N],iv2,u[N],all;LL qmi(LL a,LL b) {LL ans=1;  a%=mod; a+=mod; a%=mod;while(b) {if(b&1) ans=ans*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return ans%mod;
}int x[N], y[N];
void FWT_xor(int *a,int opt,int N)
{for(int i=1;i<N;i<<=1)for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)for(int k=0;k<i;++k){int X=a[j+k],Y=a[i+j+k];a[j+k]=(X+Y)%mod;a[i+j+k]=(X+mod-Y)%mod;if(opt==-1)a[j+k]=1ll*a[j+k]*iv2%mod,a[i+j+k]=1ll*a[i+j+k]*iv2%mod;}
}void cdq(int d,int l,int r,LL sa) {if(l==r) {f[l]+=all%mod; f[l]%=mod;(f[l]*=qmi(1-(all-sa)%mod,mod-2))%=mod;return;} int len=1<<d; LL sum=0;cdq(d-1,l+len,r,sa);for(int i=0;i<len;i++) {x[i]=a[i+len]; sum+=x[i]; sum%=mod;y[i]=f[i+l+len];}FWT_xor(x,1,len); FWT_xor(y,1,len);for(int i=0;i<len;i++) {x[i]=1ll*x[i]*y[i]%mod;}FWT_xor(x,-1,len);for(int i=0;i<len;i++) {(f[i+l]+=x[i])%=mod;  }cdq(d-1,l,l+len-1,(sa+sum)%mod);
}int main()
{//  ios::sync_with_stdio(false);
//  cin.tie(0);iv2=qmi(2,mod-2);int _; scanf("%d",&_);while(_--) {scanf("%d",&n); LL sum=0;memset(f,0,sizeof(f));for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]),sum+=a[i];sum=qmi(sum,mod-2);  all=0;for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*sum%mod,all+=a[i],all%=mod;for(int i=16;i>=0;i--) {if((1<<i)==n) {cdq(i-1,0,n-1,0);break;}}printf("%lld\n",f[0]%mod);}return 0;
}
/*
200000005
3
3
0*/

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