整理的算法模板合集： ACM模板

一、三维基础操作
- 1.1 三维点积(Dot3)
- 1.2 三维叉积(Cross3)
- 1.3 矢量差（Subt）
- 1.4.1 返回ab，ac，ad的混合积(Volume6)
- 1.4.2 四面体体积(Volume6)
- 1.5 求四面体的重心(Centroid)
- 1.6 凸多面体的重心
- 1.7 二面角
二、三维点线面
- 2.1 取平面法向量(NormalVector)
- 2.2 求两点距离(TwoPointDistance)
- 2.3 点p到平面的距离(DistanceToPlane)
- 2.4 点p在平面上的投影(GetPlaneProjection)
- 2.5 直线与平面的交点(LinePlaneIntersection)
- 2.6 空间直线距离(LineToLine)
- 2.7 点到直线的距离(DistanceToLine)
- 2.8 点到线段的距离(DistanceToSeg)
- 2.9 求异面直线与的公垂线对应的s(LineDistance3D)
- 2.10 p1和p2是否在线段a-b的同侧(SameSide)
- 2.11 判断点P是否在三角形中(PointInTri)
- 2.12 三角形P0、P1、P2是否和线段AB相交(TriSegIntersection)
- 2.13 空间两三角形是否相交(TriTriIntersection)
- 2.14 空间两直线上最近点对返回最近距离(SegSegDistance)
- 2.15判断P是否在三角形A, B, C中，并且到三条边的距离都至少为mindist(InsideWithMinDistance)
- 2.16判断P是否在凸四边形中，并且到四条边的距离都至少为mindist(InsideWithMinDistance)
三、三维凸包
- 3.1 加干扰防止多点共面(add_noise)
- 3.2 凸包的定义(Face)
- 3.3 增量法求三维凸包(CH3D)
- 3.4 凸多面体(ConvexPolyhedron)
- 3.5 给三维凸包求出重心到各面的最小距离

一、三维基础操作

const double EPS=0.000001;typedef struct Point_3D {double x, y, z;Point_3D(double xx = 0, double yy = 0, double zz = 0): x(xx), y(yy), z(zz) {}bool operator == (const Point_3D& A) const {return x==A.x && y==A.y && z==A.z;}
};
typedef Point_3D Vector_3D;struct Line_3D   //空间直线
{Point_3D a, b;
};struct Plane_3D   //空间平面
{Point_3D a, b, c;Plane_3D(){}Plane_3D( Point_3D a, Point_3D b, Point_3D c ):a(a), b(b), c(c) { }
};Point_3D read_Point_3D() {double x,y,z;scanf("%lf%lf%lf",&x,&y,&z);return Point_3D(x,y,z);
}Vector_3D operator + (const Vector_3D & A, const Vector_3D & B) {return Vector_3D(A.x + B.x, A.y + B.y, A.z + B.z);
}Vector_3D operator - (const Point_3D & A, const Point_3D & B) {return Vector_3D(A.x - B.x, A.y - B.y, A.z - B.z);
}Vector_3D operator * (const Vector_3D & A, double p) {return Vector_3D(A.x * p, A.y * p, A.z * p);
}Vector_3D operator / (const Vector_3D & A, double p) {return Vector_3D(A.x / p, A.y / p, A.z / p);
}//取平面法向量
Point_3D NormalVector( plane3 s )
{return Cross_3D( Subt( s.a, s.b ), Subt( s.b, s.c ) );
}
Point_3D NormalVector( Point3 a, Point3 b, Point3 c )
{return Cross_3D( Subt( a, b ), Subt( b, c ) );
}//两点距离
double TwoPointDistance( Point3 p1, Point3 p2 )
{return sqrt( (p1.x - p2.x)*(p1.x - p2.x) + (p1.y - p2.y)*(p1.y - p2.y) + (p1.z - p2.z)*(p1.z - p2.z) );
}

1.1 三维点积(Dot3)

double Dot_3D(const Vector_3D & A, const Vector_3D & B) {return A.x * B.x + A.y * B.y + A.z * B.z;
}double Length(const Vector_3D & A) {return sqrt(Dot(A, A));
}double Angle(const Vector_3D & A, const Vector_3D & B) {return acos(Dot(A, B) / Length(A) / Length(B));
}

1.2 三维叉积(Cross3)

可以认为叉积同时垂直于v1和v2，当且仅当v1和v2平行时，叉积为0。

Vector_3D Cross(const Vector_3D & A, const Vector_3D & B) {return Vector_3D(A.y * B.z - A.z * B.y, A.z * B.x - A.x * B.z, A.x * B.y - A.y * B.x);
}
// 三角形abc面积的两倍
double Area2(const Point_3D & A, const Point_3D & B, const Point_3D & C) {return Length(Cross(B - A, C - A));
}

过不共线三点的平面，法向量为Cross(p2 - p0, p1 - p0)，我们在任取一个点即可得到平面的点法式。

1.3 矢量差（Subt）

Point_3D Subt( Point3 u, Point3 v )
{Point_3D ret;ret.x = u.x - v.x;ret.y = u.y - v.y;ret.z = u.z - v.z;return ret;
}

1.4.1 返回ab，ac，ad的混合积(Volume6)

对于三个三维向量a,b,ca,b,ca,b,c，定义它们的混合积为(a×b)⋅c(a×b)⋅c(a×b)⋅c，其中×\times× 表示叉乘，⋅\cdot⋅表示点乘，记为[abc][a\ b\ c][a b c]

几何意义

其中 Prja×bcPrj_{a×bc}Prja×bc 代表的是c这个向量在a×b这个向量上的投影

那么显然我们最后得到的是以这三个向量为三条临边的一个六面体的体积

// 返回ab，ac，ad的混合积。它等于四面体(三角形体)abcd的有
//向体积的6倍(六面体(正方形体)的体积)
double Volume6(const Point_3D & A, const Point_3D & B, const Point_3D & C, const Point_3D & D) {return Dot(D - A, Cross(B - A, C - A));
}

1.4.2 四面体体积(Volume6)

假设四面体的四个顶点分别为A,B,C,D，并设三个向量a=B−A,b=C−A,c=D−Aa=B−A,b=C−A,c=D−Aa=B−A,b=C−A,c=D−A，那么这个正四面体的体积就是16[abc]\frac{1}{6}[a b c]61[abc](混合积)

// 返回ab，ac，ad的混合积。它等于四面体(三角形体)abcd的有
//向体积的6倍(六面体(正方形体)的体积)
double Volume6(const Point_3D & A, const Point_3D & B, const Point_3D & C, const Point_3D & D) {return Dot(D - A, Cross(B - A, C - A));
}

1.5 求四面体的重心(Centroid)

// 四面体的重心
Point_3D Centroid(const Point_3D & A, const Point_3D & B, const Point_3D & C, const Point_3D & D) {return (A + B + C + D) / 4.0;
}

1.6 凸多面体的重心

我们首先考虑凸多边形的重心

对于三角形，它的重心就是它所有坐标的平均值

那么对于凸多边形，我们把它三角剖分了，记第i块的重心为 aia_iai，面积为 mim_imi，那么凸多边形的重心就是

∑i=1nai×mi∑i=1nmi\frac{∑^{n}_{i=1}a_i×m_i}{∑^{n}_{i=1}m_i}∑i=1nmi∑i=1nai×mi
那么凸多面体也差不多了，我们把它给四面体剖分了，然后也差不多按上面的算就好了

关于四面体剖分，具体的说我们在多面体中随便选一个点，比方说是p1，然后把每一个面给三角剖分，那么三角形就和选定的点构成了一个四面体。设vi表示第i个四面体的体积，ai表示重心，则最终多面体的重心为

∑i=1nai×vi∑i=1nvi\frac{∑^{n}_{i=1}a_i×v_i}{∑^{n}_{i=1}v_i}∑i=1nvi∑i=1nai×vi

1.7 二面角

简单来说就是两个平面的夹角

我们假设现在有a,b,c三个向量，要求ab这个平面和ac这个平面的二面角

那么求出ab和ac的法向量（法向量可以直接用叉积算），两个法向量之间的夹角就是二面角了，法向量之间的夹角直接用点积除以长度计算(转换成单位法向量)

二、三维点线面

三维的直线仍然可以用参数方程（点+向量表示），同时射线和线段为“参数有取值范围”的直线

struct Line_3D   //空间直线
{Point_3D a, b;
};

三维平面通常使用点法式(p0,n)(p_0, n)(p0,n)表示，其中p0p_0p0是平面上的一个点，向量n是平面的法向量。（我们的平面把空间分成了两个部分，一般取法向量所背离的半空间）

法向量垂直于平面上所有直线，意味着平面上的任意点p满足Dot(n,p−p0)=0Dot(n, p - p0) = 0Dot(n,p−p0)=0。

我们设p(x,y),p0(x0,y0)p(x, y), p_0(x_0, y_0)p(x,y),p0(x0,y0)，法向量n(A,B,C)n(A, B, C)n(A,B,C)

化简得到平面的一般式：Ax+By+Cz−D=0(D=−(Ax0+By0+Cz0))Ax + By + Cz - D = 0(D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0))Ax+By+Cz−D=0(D=−(Ax0+By0+Cz0))

当Ax+By+Cz−D>0Ax + By + Cz - D > 0Ax+By+Cz−D>0时，上述点积大于0，说明点p(x,y,z)p(x, y, z)p(x,y,z)在版空间(p0,n)(p_0, n)(p0,n)之外。

struct Plane_3D   //空间平面
{Point_3D a, b, c;Plane_3D(){}Plane_3D( Point_3D a, Point_3D b, Point_3D c ):a(a), b(b), c(c) { }
};

2.1 取平面法向量(NormalVector)

Point3 NormalVector( plane_3D s )
{return Cross3( Subt( s.a, s.b ), Subt( s.b, s.c ) );
}
Point3 NormalVector( Point_3D a, Point_3D b, Point_3D c )
{return Cross3( Subt( a, b ), Subt( b, c ) );
}

2.2 求两点距离(TwoPointDistance)

double TwoPointDistance( Point_3D p1, Point_3D p2 )
{return sqrt( (p1.x - p2.x)*(p1.x - p2.x) + (p1.y - p2.y)*(p1.y - p2.y) + (p1.z - p2.z)*(p1.z - p2.z) );
}

2.3 点p到平面的距离(DistanceToPlane)

// 点p到平面p0-n的距离。n必须为单位向量
double DistanceToPlane(const Point_3D & p, const Point_3D & p0, const Vector_3D & n)
{return fabs(Dot(p - p0, n)); // 如果不取绝对值，得到的是有向距离
}

2.4 点p在平面上的投影(GetPlaneProjection)

// 点p在平面p0-n上的投影。n必须为单位向量(如果不是单位向量就/Length(n)嘛)
Point_3D GetPlaneProjection(const Point_3D & p, const Point_3D & p0, const Vector_3D & n)
{return p - n * Dot(p - p0, n);
}

2.5 直线与平面的交点(LinePlaneIntersection)

//直线p1-p2 与平面p0-n的交点
Point_3D LinePlaneIntersection(Point_3D p1, Point_3D p2, Point_3D p0, Vector_3D n)
{Vector_3D v= p2 - p1;double t = (Dot(n, p0 - p1) / Dot(n, p2 - p1)); //分母为0，直线与平面平行或在平面上return p1 + v * t; //如果是线段 判断t是否在0~1之间
}

2.6 空间直线距离(LineToLine)

//空间直线距离,tmp为两直线的公共法向量
double LineToLine( Line_3D u, Line_3D v, Point_3D& tmp )
{tmp = Cross3( Subt( u.a, u.b ), Subt( v.a, v.b ) );return fabs( Dot3( Subt(u.a, v.a), tmp ) ) / VectorLenth(tmp);
}

2.7 点到直线的距离(DistanceToLine)

// 点P到直线AB的距离
double DistanceToLine(const Point_3D & P, const Point_3D & A, const Point_3D & B)
{Vector_3D v1 = B - A, v2 = P - A;return Length(Cross(v1, v2)) / Length(v1);
}

2.8 点到线段的距离(DistanceToSeg)

double DistanceToSeg(Point_3D p, Point_3D a, Point_3D b)
{if(a == b)return Length(p - a);Vector_3D v1 = b - a, v2 = p - a, v3 = p - b;if(Dot(v1, v2) + EPS < 0)return Length(v2);else{if(Dot(v1, v3) - EPS > 0)return Length(v3);elsereturn Length(Cross(v1, v2)) / Length(v1);}
}

2.9 求异面直线与的公垂线对应的s(LineDistance3D)

//求异面直线 p1+s*u与p2+t*v的公垂线对应的s 如果平行|重合，返回false
bool LineDistance3D(Point_3D p1, Vector_3D u, Point_3D p2, Vector_3D v, double & s)
{double b = Dot(u, u) * Dot(v, v) - Dot(u, v) * Dot(u, v); if(abs(b) <= EPS)return false;double a = Dot(u, v) * Dot(v, p1 - p2) - Dot(v, v) * Dot(u, p1 - p2);s = a / b;return true;
}

2.10 p1和p2是否在线段a-b的同侧(SameSide)

bool SameSide(const Point_3D & p1, const Point_3D & p2, const Point_3D & a, const Point_3D & b){return Dot(Cross(b - a, p1 - a), Cross(b - a, p2 - a)) - EPS >= 0;
}

2.11 判断点P是否在三角形中(PointInTri)

另法详见《训练指南》P288

//点P在三角形P0, P1, P2中
bool PointInTri(const Point_3D & P, const Point_3D & P0, const Point_3D & P1, const Point_3D & P2){return SameSide(P, P0, P1, P2) && SameSide(P, P1, P0, P2) && SameSide(P, P2, P0, P1);
}

2.12 三角形P0、P1、P2是否和线段AB相交(TriSegIntersection)

bool TriSegIntersection(const Point_3D & P0, const Point_3D & P1, const Point_3D & P2, const Point_3D & A, const Point_3D & B, Point_3D & P)
{Vector_3D n = Cross(P1 - P0, P2 - P0);if(abs(Dot(n, B - A)) <= EPS)return false;    // 线段A-B和平面P0P1P2平行或共面else   // 平面A和直线P1-P2有惟一交点{double t = Dot(n, P0 - A) / Dot(n, B - A);if(t + EPS < 0 || t - 1 - EPS > 0)return false;    // 不在线段AB上 P = A + (B - A) * t; // 交点return PointInTri(P, P0, P1, P2);}
}

2.13 空间两三角形是否相交(TriTriIntersection)

bool TriTriIntersection(Point_3D * T1, Point_3D * T2)
{Point_3D P;for(int i = 0; i < 3; i++){if(TriSegIntersection(T1[0], T1[1], T1[2], T2[i], T2[(i + 1) % 3], P))return true;if(TriSegIntersection(T2[0], T2[1], T2[2], T1[i], T1[(i + 1) % 3], P))return true;}return false;
}

2.14 空间两直线上最近点对返回最近距离(SegSegDistance)

//空间两直线上最近点对 返回最近距离 点对保存在ans1 ans2中
double SegSegDistance(Point_3D a1, Point_3D b1, Point_3D a2, Point_3D b2, Point_3D& ans1, Point_3D& ans2)
{Vector_3D v1 = (a1 - b1), v2 = (a2 - b2);Vector_3D N = Cross(v1, v2);Vector_3D ab = (a1 - a2);double ans = Dot(N, ab) / Length(N);Point_3D p1 = a1, p2 = a2;Vector_3D d1 = b1 - a1, d2 = b2 - a2;double t1, t2;t1 = Dot((Cross(p2 - p1, d2)), Cross(d1, d2));t2 = Dot((Cross(p2 - p1, d1)), Cross(d1, d2));double dd = Length((Cross(d1, d2)));t1 /= dd * dd;t2 /= dd * dd;ans1 = (a1 + (b1 - a1) * t1);ans2 = (a2 + (b2 - a2) * t2);return fabs(ans);
}

2.15判断P是否在三角形A, B, C中，并且到三条边的距离都至少为mindist(InsideWithMinDistance)

// 判断P是否在三角形A, B, C中，并且到三条边的距离都至少为mindist。保证P, A, B, C共面
bool InsideWithMinDistance(const Point_3D & P, const Point_3D & A, const Point_3D & B, const Point_3D & C, double mindist)
{if(!PointInTri(P, A, B, C))return false;if(DistanceToLine(P, A, B) < mindist)return false;if(DistanceToLine(P, B, C) < mindist)return false;if(DistanceToLine(P, C, A) < mindist)return false;return true;
}

2.16判断P是否在凸四边形中，并且到四条边的距离都至少为mindist(InsideWithMinDistance)

// 判断P是否在凸四边形ABCD（顺时针或逆时针）中，并且到四条边的距离都至少为mindist。保证P, A, B, C, D共面
bool InsideWithMinDistance(const Point_3D & P, const Point_3D & A, const Point_3D & B, const Point_3D & C, const Point_3D & D, double mindist)
{if(!PointInTri(P, A, B, C))return false;if(!PointInTri(P, C, D, A))return false;if(DistanceToLine(P, A, B) < mindist)return false; if(DistanceToLine(P, B, C) < mindist)return false; if(DistanceToLine(P, C, D) < mindist)return false; if(DistanceToLine(P, D, A) < mindist)return false; return true;
}

三、三维凸包

3.1 加干扰防止多点共面(add_noise)

//加干扰防止多点共面
double rand01()
{return rand() / (double)RAND_MAX;
}
double randeps()
{return (rand01() - 0.5) * EPS;
}
Point_3D add_noise(const Point_3D & p)
{return Point_3D(p.x + randeps(), p.y + randeps(), p.z + randeps());
}

3.2 凸包的定义(Face)

struct Face
{int v[3];Face(int a, int b, int c){v[0] = a;v[1] = b;v[2] = c;}//逆时针旋转Vector_3D Normal(const vector<Point_3D> & P) const{return Cross(P[v[1]] - P[v[0]], P[v[2]] - P[v[0]]);}// f是否能看见P[i]int CanSee(const vector<Point_3D> & P, int i) const{return Dot(P[i] - P[v[0]], Normal(P)) > 0;}
};

3.3 增量法求三维凸包(CH3D)

// 增量法求三维凸包
// 注意：没有考虑各种特殊情况（如四点共面）。实践中，请在调用前对输入点进行微小扰动
//vector<Face>CH3D(Point_3D* p, int n)//所有面的点集和点数
vector<Face> CH3D(const vector<Point_3D> & P)
{int n = P.size();vector<vector<int> > vis(n); for(int i = 0; i < n; i++){vis[i].resize(n);} vector<Face> cur;cur.push_back(Face(0, 1, 2)); // 由于已经进行扰动，前三个点不共线cur.push_back(Face(2, 1, 0));for(int i = 3; i < n; i++){vector<Face> next;// 计算每条边的“左面”的可见性for(int j = 0; j < cur.size(); j++){Face & f = cur[j];int res = f.CanSee(P, i);if(!res){next.push_back(f);}for(int k = 0; k < 3; k++){vis[f.v[k]][f.v[(k + 1) % 3]] = res;}}for(int j = 0; j < cur.size(); j++)for(int k = 0; k < 3; k++){int a = cur[j].v[k], b = cur[j].v[(k + 1) % 3];if(vis[a][b] != vis[b][a] && vis[a][b]) // (a,b)是分界线，左边对P[i]可见{next.push_back(Face(a, b, i));}}cur = next;}return cur;
}

3.4 凸多面体(ConvexPolyhedron)

struct ConvexPolyhedron
{int n;vector<Point_3D> P, P2;vector<Face> faces;bool read(){if(scanf("%d", &n) != 1){return false;}P.resize(n);P2.resize(n);for(int i = 0; i < n; i++){P[i] = read_Point_3D();P2[i] = add_noise(P[i]);}faces = CH3D(P2);return true;}//三维凸包重心Point_3D centroid(){Point_3D C = P[0];double totv = 0;Point_3D tot(0, 0, 0);for(int i = 0; i < faces.size(); i++){Point_3D p1 = P[faces[i].v[0]], p2 = P[faces[i].v[1]], p3 = P[faces[i].v[2]];double v = -Volume6(p1, p2, p3, C);totv += v;tot = tot + Centroid(p1, p2, p3, C) * v;}return tot / totv;}//凸包重心到表面最近距离double mindist(Point_3D C){double ans = 1e30;for(int i = 0; i < faces.size(); i++){Point_3D p1 = P[faces[i].v[0]], p2 = P[faces[i].v[1]], p3 = P[faces[i].v[2]];ans = min(ans, fabs(-Volume6(p1, p2, p3, C) / Area2(p1, p2, p3)));}return ans;}
};

3.5 给三维凸包求出重心到各面的最小距离

给我们一个三维凸包，让我们求出重心到各个面的最小距离。

const int MAXN=550;
const double eps=1e-8;
struct Point
{double x,y,z;Point(){}Point(double xx,double yy,double zz):x(xx),y(yy),z(zz){}//两向量之差Point operator -(const Point p1){return Point(x-p1.x,y-p1.y,z-p1.z);}//两向量之和Point operator +(const Point p1){return Point(x+p1.x,y+p1.y,z+p1.z);}//叉乘Point operator *(const Point p){return Point(y*p.z-z*p.y,z*p.x-x*p.z,x*p.y-y*p.x);}Point operator *(double d){return Point(x*d,y*d,z*d);}Point operator / (double d){return Point(x/d,y/d,z/d);}//点乘double  operator ^(Point p){return (x*p.x+y*p.y+z*p.z);}
};struct CH3D
{struct face{//表示凸包一个面上的三个点的编号int a,b,c;//表示该面是否属于最终凸包上的面bool ok;};//初始顶点数int n;//初始顶点Point P[MAXN];//凸包表面的三角形数int num;//凸包表面的三角形face F[8*MAXN];//凸包表面的三角形int g[MAXN][MAXN];//向量长度double vlen(Point a){return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y+a.z*a.z);}//叉乘Point cross(const Point &a,const Point &b,const Point &c){return Point((b.y-a.y)*(c.z-a.z)-(b.z-a.z)*(c.y-a.y),(b.z-a.z)*(c.x-a.x)-(b.x-a.x)*(c.z-a.z),(b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x));}//三角形面积*2double area(Point a,Point b,Point c){return vlen((b-a)*(c-a));}//四面体有向体积*6double volume(Point a,Point b,Point c,Point d){return (b-a)*(c-a)^(d-a);}//正：点在面同向double dblcmp(Point &p,face &f){Point m=P[f.b]-P[f.a];Point n=P[f.c]-P[f.a];Point t=p-P[f.a];return (m*n)^t;}void deal(int p,int a,int b){int f=g[a][b];//搜索与该边相邻的另一个平面face add;if(F[f].ok){if(dblcmp(P[p],F[f])>eps)dfs(p,f);else{add.a=b;add.b=a;add.c=p;//这里注意顺序，要成右手系add.ok=true;g[p][b]=g[a][p]=g[b][a]=num;F[num++]=add;}}}void dfs(int p,int now)//递归搜索所有应该从凸包内删除的面{F[now].ok=0;deal(p,F[now].b,F[now].a);deal(p,F[now].c,F[now].b);deal(p,F[now].a,F[now].c);}bool same(int s,int t){Point &a=P[F[s].a];Point &b=P[F[s].b];Point &c=P[F[s].c];return fabs(volume(a,b,c,P[F[t].a]))<eps &&fabs(volume(a,b,c,P[F[t].b]))<eps &&fabs(volume(a,b,c,P[F[t].c]))<eps;}//构建三维凸包void create(){int i,j,tmp;face add;num=0;if(n<4)return;//**********************************************//此段是为了保证前四个点不共面bool flag=true;for(i=1;i<n;i++){if(vlen(P[0]-P[i])>eps){swap(P[1],P[i]);flag=false;break;}}if(flag)return;flag=true;//使前三个点不共线for(i=2;i<n;i++){if(vlen((P[0]-P[1])*(P[1]-P[i]))>eps){swap(P[2],P[i]);flag=false;break;}}if(flag)return;flag=true;//使前四个点不共面for(int i=3;i<n;i++){if(fabs((P[0]-P[1])*(P[1]-P[2])^(P[0]-P[i]))>eps){swap(P[3],P[i]);flag=false;break;}}if(flag)return;//*****************************************for(i=0;i<4;i++){add.a=(i+1)%4;add.b=(i+2)%4;add.c=(i+3)%4;add.ok=true;if(dblcmp(P[i],add)>0)swap(add.b,add.c);g[add.a][add.b]=g[add.b][add.c]=g[add.c][add.a]=num;F[num++]=add;}for(i=4;i<n;i++){for(j=0;j<num;j++){if(F[j].ok&&dblcmp(P[i],F[j])>eps){dfs(i,j);break;}}}tmp=num;for(i=num=0;i<tmp;i++)if(F[i].ok)F[num++]=F[i];}//表面积double area(){double res=0;if(n==3){Point p=cross(P[0],P[1],P[2]);res=vlen(p)/2.0;return res;}for(int i=0;i<num;i++)res+=area(P[F[i].a],P[F[i].b],P[F[i].c]);return res/2.0;}double volume(){double res=0;Point tmp(0,0,0);for(int i=0;i<num;i++)res+=volume(tmp,P[F[i].a],P[F[i].b],P[F[i].c]);return fabs(res/6.0);}//表面三角形个数int triangle(){return num;}//表面多边形个数int polygon(){int i,j,res,flag;for(i=res=0;i<num;i++){flag=1;for(j=0;j<i;j++)if(same(i,j)){flag=0;break;}res+=flag;}return res;}//三维凸包重心Point barycenter(){Point ans(0,0,0),o(0,0,0);double all=0;for(int i=0;i<num;i++){double vol=volume(o,P[F[i].a],P[F[i].b],P[F[i].c]);ans=ans+(o+P[F[i].a]+P[F[i].b]+P[F[i].c])/4.0*vol;all+=vol;}ans=ans/all;return ans;}//点到面的距离double ptoface(Point p,int i){return fabs(volume(P[F[i].a],P[F[i].b],P[F[i].c],p)/vlen((P[F[i].b]-P[F[i].a])*(P[F[i].c]-P[F[i].a])));}
};
CH3D hull;
int main()
{while(scanf("%d",&hull.n)==1){for(int i=0;i<hull.n;i++){scanf("%lf%lf%lf",&hull.P[i].x,&hull.P[i].y,&hull.P[i].z);}hull.create();Point p=hull.barycenter();//求重心double ans1=1e20;for(int i=0;i<hull.num;i++){ans1=min(ans1,hull.ptoface(p,i));}printf("%.3f\n",ans1);}return 0;
}

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三维几何基础大合集（三维点积叉积、点线面、凸包）《计算几何全家桶（三）》

目录

一、三维基础操作

1.1 三维点积(Dot3)

1.2 三维叉积(Cross3)

1.3 矢量差（Subt）

1.4.1 返回ab，ac，ad的混合积(Volume6)

1.4.2 四面体体积(Volume6)

1.5 求四面体的重心(Centroid)

1.6 凸多面体的重心

1.7 二面角

二、三维点线面

2.1 取平面法向量(NormalVector)

2.2 求两点距离(TwoPointDistance)

2.3 点p到平面的距离(DistanceToPlane)

2.4 点p在平面上的投影(GetPlaneProjection)

2.5 直线与平面的交点(LinePlaneIntersection)

2.6 空间直线距离(LineToLine)

2.7 点到直线的距离(DistanceToLine)

2.8 点到线段的距离(DistanceToSeg)

2.9 求异面直线与的公垂线对应的s(LineDistance3D)

2.10 p1和p2是否在线段a-b的同侧(SameSide)

2.11 判断点P是否在三角形中(PointInTri)

2.12 三角形P0、P1、P2是否和线段AB相交(TriSegIntersection)

2.13 空间两三角形是否相交(TriTriIntersection)

2.14 空间两直线上最近点对返回最近距离(SegSegDistance)

2.15判断P是否在三角形A, B, C中，并且到三条边的距离都至少为mindist(InsideWithMinDistance)

2.16判断P是否在凸四边形中，并且到四条边的距离都至少为mindist(InsideWithMinDistance)

三、三维凸包

3.1 加干扰防止多点共面(add_noise)

3.2 凸包的定义(Face)

3.3 增量法求三维凸包(CH3D)

3.4 凸多面体(ConvexPolyhedron)

3.5 给三维凸包求出重心到各面的最小距离

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2.5 直线与平面的交点(LinePlaneIntersection)

2.6 空间直线距离(LineToLine)

2.7 点到直线的距离(DistanceToLine)

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2.11 判断点P是否在三角形中(PointInTri)

2.12 三角形P0、P1、P2是否和线段AB相交(TriSegIntersection)

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2.14 空间两直线上最近点对 返回最近距离(SegSegDistance)

2.15判断P是否在三角形A, B, C中，并且到三条边的距离都至少为mindist(InsideWithMinDistance)

2.16判断P是否在凸四边形中，并且到四条边的距离都至少为mindist(InsideWithMinDistance)

三、三维凸包

3.1 加干扰防止多点共面(add_noise)

3.2 凸包的定义(Face)

3.3 增量法求三维凸包(CH3D)

3.4 凸多面体(ConvexPolyhedron)

3.5 给三维凸包求出重心到各面的最小距离

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