DFT的准备（二）（对离散时间傅里叶变换DTFT采样）

序言：

今天的主题：

有意义的举例讨论：

情形一：

情形二：

最重要的结论：

重磅内容：

序言：

上篇博文（对离散序列的傅里叶分析的大总结）的最后讨论了有限长序列与周期序列之间的关系，首先给出了有限长序列以及由其构成的周期序列之间的关系，具体参看博文，博文得出的结论是：

今天的主题：

今天的主题讨论了非周期序列与周期序列之间的更一般的关系：

先给出非周期有限长序列以及其DTFT，然后对其傅里叶变换（DTFT）进行等间隔采样，等间隔采样后的序列的逆变换对应的序列是什么样的呢？

是不是有限长序列的周期延拓？

看下面的分析：

可见，是一个周期延拓关系，延拓周期为N。

有意义的举例讨论：

下面再给出一个十分有意思的讨论：

情形一：

在下图中，x[n]是长度为9的序列，对其进行傅里叶变换（DTFT）得到 $X(e^{jw})$ ，对 $X(e^{jw})$ 进行等间隔采样，间隔为 $2\pi/N$ ，取N=12，也就是间隔为 $\pi/6$ ，得到采样后的序列为 $X\tilde{}[k]$ ，该序列对应的时域波形 $x\tilde[n]$ 为下图（b），也就是对x[n]的周期延拓，周期为12。

情形二：

同样是这个有限长序列x[n]：

当N=7的时候，对应的 $x\tilde[n]$ 为：

可见，发生了混叠现象。

下面对其进行解释：

情形一的情况， $x\tilde[n]$ 的一个周期是x[n]，这是没有发生混叠的情况，但对于情形二， $x\tilde[n]$ 的一个周期就不再等于x[n]了，这是由于时域波形x[n]周期延拓后发生了混叠。

尽管如此，下式依然成立：

也就是说在这两种情况下， $x\tilde[n]$ 的DFS系数都是x[n]的傅里叶变换在频率 $2\pi/N$ 整数倍的等间隔点上的采样值。

对于情形一，原来的序列x[n]可以从 $x\tilde[n]$ 中抽取一个周期而恢复。

同样，傅里叶变换 $X(e^{jw})$ 也可以从频率上以 $2\pi/12$ 等间隔地采样来恢复。

与之相反，对于情形二，x[n]不能用取出 $x\tilde[n]$ 的一个周期的方法来恢复。

类似地，如果采样间隔只有 $2\pi/7$ ， $X(e^{jw})$ 也不能由它的采样来恢复。

实际上，情形一说明的情况是，已经用足够小的间隔（在频率上）对x[n]的傅里叶变换采样，以便能够由这些样本来恢复该变换。而情形二，表示一种对傅里叶变换欠采样的情况。

在欠采样的情况下， $x[n]$ 与 $x\tilde[n]$ 的一个周期之间的关系可以认为是时域产生混叠的一种形式。

显然，只要 $x[n]$ 为有限长，时域混叠就可以避免，正如信号的傅里叶变换只要是带宽有限的，其频域混叠也可以避免。

最重要的结论：

从上面的讨论中，我们已经看出：

重磅内容：

在推导、讨论和应用DFT时，我们应该始终记住：通过傅里叶变换的采样值来表示，实际上是利用一个周期序列来表示有限长序列，该周期序列的一个周期正是要表示的有限长序列。