这个机械装置真的能够分离彩色小球吗？

在网络中有人展示了一段神奇的视频，显示一块高尔顿钉板（Galton board）可以自动按照颜色来分离小球。这段视频让每位观看者都大为困惑。

^{▲ 彩球自动分离装置}

这种视频片段在网络上还是蛮流行的。它最早可以追溯得空2018年1月份，一个匿名者在脸书（Facebook）上分享了类似的一段视频，显示了一个简单的机械装置可以按照颜色将小球分离到不同存储格子里，并留有一个问题：问谁能够解释这个装置如何工作的？

下面的动图就是当时播放视频片段。

^{▲ 彩球自动分离装置}

有些观众在留言中进行了理论分析。指出这个装置实际上是上下颠倒放置的，只是拍摄视频之后将其上下重新颠倒过来，并将时间顺序倒放。也就是我们看到的实际上是原来存储在不同小格子里的彩球重新混合的过程。

也有的人猜测该装置实际上并不是通过颜色来分离小球，而是根据这些小球在尺寸上的微小差异来进行分离的。

实际真相是什么呢？

原来这个机械装置压根就不曾存在过。这种过滤小球的装置实际上是计算机仿真程序生成的。最初是由网名为**“the humeister**”的作者将视频挂在 Reddit新闻网站上。视频中的机械装置叫做“高尔顿钉板”（Galton Board），原本是用来展示数学中的中心极限定理的。这段视频使用开源3D计算机绘图软件生成的一段仿真Galton Board的演示视频。

最初视频中的小球都是白色。当所有的小球落下之后，他再将不同区间的小球涂抹上不同颜色，再重新运行一遍仿真程序。

^{▲ Galton board用来展示概率论中的极限定理}

高尔顿钉板，是由Sir Francis Galton zl 1800年发明的，目的是用来展示数学中中心极限定理。它也被称为弹珠机器，

中心极限定理概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。

设随机变量X1，X2，…Xn，…独立同分布，并且具有有限的数学期望和方差：E(Xi)=μ，D(Xi)=σ20(k=1,2…)，则对任意x，分布函数
Fn(x)=P{∑i=1nXi−nμσn≤x}F_n \left( x \right) = P\left\{ {{{\sum\limits_{i = 1}^n {X_i - n\mu } } \over {\sigma \sqrt n }} \le x} \right\}Fn(x)=P⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧σni=1∑nXi−nμ≤x⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

满足

lim⁡n→∞Fn(x)=12π∫−∞xe−t22−dt\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_n \left( x \right) = {1 \over {\sqrt {2\pi } }}\int_{ - \infty }^x {e^{ - {{t^2 } \over 2} - } dt}n→∞limFn(x)=2π1∫−∞xe−2t2−dt

中心极限定理有着有趣的历史。这个定理的第一版被法国数学家棣莫弗发现，他在1733年发表的卓越论文中使用正态分布去估计大量抛掷硬币出现正面次数的分布。这个超越时代的成果险些被历史遗忘，所幸著名法国数学家拉普拉斯在1812年发表的巨著Théorie Analytique des Probabilités中拯救了这个默默无名的理论。

拉普拉斯扩展了棣莫弗的理论，指出二项分布可用正态分布逼近。但同棣莫弗一样，拉普拉斯的发现在当时并未引起很大反响。直到十九世纪末中心极限定理的重要性才被世人所知。1901年，俄国数学家里雅普诺夫用更普通的随机变量定义中心极限定理并在数学上进行了精确的证明。如今，中心极限定理被认为是(非正式地)概率论中的首席定理。

^{▲ Galton Board 演示极限定理}

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