机器人动力学方程的性质

一个nn连杆的机器人的动力学方程含有很多项，特别是全部是转动关节的机械臂，让人看着害怕。但是，机器人动力学方程含有一些有助于开发控制算法的重要性质，其中最重要的是反对称性、无源性、有界性和参数的线性性。

反对称性（skew aymmetry）和无源性(passivity)

在动力学方程中，矩阵N=D˙−2CN=\dot D-2C 是反对称性的，即 nij=−njin_{ij}=-n_{ji}
由于存在多个矩阵CC, 这里CC存特定值：

cijk=12(∂bij∂qk+∂bik∂qj−∂bjk∂qi)

c_{ijk}=\frac {1}{2}( \frac{\partial b_{ij}}{\partial q_k} + \frac{\partial b_{ik}}{\partial q_j} - \frac{\partial b_{jk}}{\partial q_i} )

∑j=1ncijq(j)=∑j=1n∑k=1ncijkq˙(k)q˙(j)=∑j=1n∑k=1n(∂bij∂qk−12∂bjk∂qi)q˙(k)q˙(j)

\sum^n_{j=1}c_{ij} q_{(j)}= \sum^n_{j=1} \sum^n_{k=1} c_{ijk} \dot q_{(k)} \dot q_{(j)} = \sum^n_{j=1} \sum^n_{k=1} (\frac { \partial b_{ij} } {\partial q_k} -\frac{1}{2} \frac { \partial b_{jk}} {\partial q_i} ) \dot q_{(k)} \dot q_{(j)}

由于 D˙(q) \dot D(q) 的第 (k,j) (k,j) 个元素 d˙kj=∑ni=1∂dkj∂qiq˙i \dot d_{kj}= \sum ^n_{i=1} \frac{ \partial d_{kj}} { \partial q_i } \dot q_i

矩阵N=D˙−2CN=\dot D-2C 的第 (k,j)(k,j) 个元素可以表示为：

nkj=d˙kj−2ckj=∑i=1n[∂dij∂qk−∂dki∂qj]

n_{kj}=\dot d_{kj}-2c_{kj}= \sum^n_{i=1} [ \frac {\partial d_{ij}} {\partial q_k } - \frac {\partial d_{ki}} { \partial q_j} ]
可以看出：

nij=−nji

n_{ij}=-n_{ji}
因此，矩阵 NN 是反对称矩阵。对任意向量 ω\omega , 有 ωTN(q，q˙)ω=0\omega^T N(q，\dot q) \omega =0
- 无源性
  机器人的总动能：H=12q˙TD(q)q˙+P(q)H= \frac{1}{2} \dot q ^TD(q) \dot q +P(q)，求导，得：
  
  H˙=q˙TD(q)q¨+12q˙TD˙(q)q˙+q˙T∂P∂q
  
  \dot H=\dot q ^T D(q) \ddot q + \frac{1}{2} \dot q ^T \dot D(q) \dot q + \dot q ^T \frac {\partial P}{\partial q}
  忽略摩擦和末端受力，带入动力学方程，可得，
  
  H˙=q˙Tτ+12q˙TN(q，q˙)q˙=q˙Tτ
  
  \dot H=\dot q^T \tau + \frac{1}{2} \dot q^T N(q，\dot q) \dot q =\dot q^T \tau
  在公式两边同时对时间积分，得：
  
  q˙T(t)τ(t)dt=H(T)−H(0)≥−H(0)
  
  \dot q^T(t) \tau (t) dt=H(T)-H(0) \geq -H(0)
惯性矩阵的界限(bounded)

对 nn 连杆机器人，他的惯性矩阵是正定且对称的，对广义关节变量 qq，令0<λ1(q)≠⋯≠λn(q)0 表示D(q)D(q) 的 nn 个特征值。
显然易得：

λ1(q)In∗n≤D(q)≤λn(q)In∗n

\lambda_1(q) I_{n*n} \leq D(q) \leq \lambda_n(q) I_{n*n}
如果所有的关节都是转动关节，那么惯性矩阵都是关于关节变量的正弦和余弦函数，因此对应的广义坐标是有界的。如果惯性矩阵具有一致的界限，可以找到常数 λm\lambda_m 和 λM\lambda_M，满足：

λ1(q)In∗n≤D(q)≤λn(q)In∗n<∝

\lambda_1(q) I_{n*n} \leq D(q) \leq \lambda_n(q) I_{n*n}

参数的线性化(linearity-in-the-parameter)

存在 n∗ℓn*\ell 函数 Y(q,q˙,q¨)Y(q, \dot q, \ddot q)，以及 ℓ\ell 维向量 Θ\Theta，使得欧拉方程可以写成：

D(q)q¨+C(q,q˙)q˙+g(q)=Y(q,q˙,q¨)Θ

D(q) \ddot q+ C(q, \dot q) \dot q+g(q) = Y(q, \dot q, \ddot q) \Theta
函数 Y(q,q˙,q¨)Y(q, \dot q, \ddot q)被称为回归方程（regeessor）, 向量 Θ\Theta 为参数向量。

对每一个刚体，可以通过总质量、惯性张量、质心来表示，总十个独立的参数，因此，对于一个nn连杆机器人来说，最多有10n10n个参数，因为多关节机器人各连杆通过耦合连接在一起，实际的参数少于10n10n
事实上，寻找这样的方程是比较困难的。

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机器人动力学方程的性质

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