一、关系闭包相关定理 ( 闭包运算不动点 )

RRR 关系是 AAA 集合上的二元关系 , R⊆AR \subseteq AR⊆A , 且 AAA 集合不为空集 , A≠∅A \not= \varnothingA=∅

RRR 关系是自反的 , 当且仅当 RRR 关系的自反闭包 r(R)r ( R )r(R) 也是 RRR 关系本身 ;

R自反⇔r(R)=RR 自反 \Leftrightarrow r(R) = RR自反⇔r(R)=R

RRR 关系是对称的 , 当且仅当 RRR 关系的对称闭包 s(R)s ( R )s(R) 也是 RRR 关系本身 ;

R对称⇔s(R)=RR 对称 \Leftrightarrow s(R) = RR对称⇔s(R)=R

RRR 关系是传递的 , 当且仅当 RRR 关系的传递闭包 t(R)t ( R )t(R) 也是 RRR 关系本身 ;

R传递⇔t(R)=RR 传递 \Leftrightarrow t(R) = RR传递⇔t(R)=R

二、关系闭包相关定理 ( 闭包运算单调性 )

R1,R2R_1 , R_2R1,R2 关系是 AAA 集合上的二元关系 , R2R_2R2 关系包含 R1R_1R1 关系 , R1⊆R2⊆A×AR_1 \subseteq R_2 \subseteq A \times AR1⊆R2⊆A×A , 且 AAA 集合不为空集 , A≠∅A \not= \varnothingA=∅

R1R_1R1 关系的自反闭包包含于 R2R_2R2 关系的自反闭包

r(R1)⊆r(R2)r(R_1) \subseteq r(R_2)r(R1)⊆r(R2)

R1R_1R1 关系的对称闭包包含于 R2R_2R2 关系的对称闭包

s(R1)⊆s(R2)s(R_1) \subseteq s(R_2)s(R1)⊆s(R2)

R1R_1R1 关系的传递闭包包含于 R2R_2R2 关系的传递闭包

t(R1)⊆t(R2)t(R_1) \subseteq t(R_2)t(R1)⊆t(R2)

三、关系闭包相关定理 ( 闭包运算与并运算之间的关系 )

自反闭包并集 : R1R_1R1 关系与 R2R_2R2 关系并集的自反闭包 , 等于 R1R_1R1 关系的自反闭包与 R2R_2R2 关系的自反闭包的并集 ;

r(R1∪R2)=r(R1)∪r(R2)r(R_1 \cup R_2) = r(R_1) \cup r(R_2)r(R1∪R2)=r(R1)∪r(R2)

对称闭包并集 : R1R_1R1 关系与 R2R_2R2 关系并集的对称闭包 , 等于 R1R_1R1 关系的对称闭包与 R2R_2R2 关系的对称闭包的并集 ;

s(R1∪R2)=s(R1)∪s(R2)s(R_1 \cup R_2) = s(R_1) \cup s(R_2)s(R1∪R2)=s(R1)∪s(R2)

传递闭包并集 : R1R_1R1 关系与 R2R_2R2 关系并集的传递闭包 , 包含 R1R_1R1 关系的传递闭包与 R2R_2R2 关系的传递闭包的并集 ;

t(R1∪R2)⊇t(R1)∪t(R2)t(R_1 \cup R_2) \supseteq t(R_1) \cup t(R_2)t(R1∪R2)⊇t(R1)∪t(R2)

四、传递闭包并集反例

传递闭包的反例 :

集合 A={a,b}A = \{a, b\}A={a,b}

关系 R1={<a,b>}R_1 = \{ <a,b> \}R1={<a,b>} , 关系 R2={<b,a>}R_2 = \{ <b,a> \}R2={<b,a>}

R1R_1R1 关系的传递闭包 : t(R1)={<a,b>}t(R_1) = \{ <a,b> \}t(R1)={<a,b>}

R2R_2R2 关系的传递闭包 : t(R2)={<b,a>}t(R_2) = \{ <b,a> \}t(R2)={<b,a>}

并集的闭包 : t(R1∪R2)={<a,b>,<a,a>,<b,a>,<b,b>}t(R_1 \cup R_2) = \{ <a,b> , <a,a> , <b,a> , <b,b> \}t(R1∪R2)={<a,b>,<a,a>,<b,a>,<b,b>}

闭包的并集 : t(R1)∪t(R2)={<a,b>,<b,a>}t(R_1) \cup t(R_2) = \{ <a,b> , <b, a> \}t(R1)∪t(R2)={<a,b>,<b,a>} , 该关系是非传递的 ;

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【集合论】关系闭包 ( 关系闭包相关定理 )

文章目录

一、关系闭包相关定理 ( 闭包运算不动点 )

二、关系闭包相关定理 ( 闭包运算单调性 )

三、关系闭包相关定理 ( 闭包运算与并运算之间的关系 )

四、传递闭包并集反例

【集合论】关系闭包 ( 关系闭包相关定理 )相关推荐

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