clothoid介绍

clothoid曲线是一种曲率半径与长度成线性关系的曲线，由于其曲率平滑过渡，在路径规划中有所应用。在直角坐标系中，clothoid曲线的微分方程如式（1）所示。
dk=adl(1)dk=adl \tag1 dk=adl(1)

式（1）中，kkk表示曲率，lll表示曲线长度，aaa表示系数，可以明显地看到clothoid曲线的曲率与曲线长度成线性关系。

绘制clothoid曲线

积分近似

通过对式（1）进行处理得到clothoid曲线在直角坐标系的参数方程（具体推导过程略），如式（2）所示。
x=1a∫0τcos(t2)dty=1a∫0τsin(t2)dt(2)\begin{array}{l} x=\frac{1}{a} \int _0^ \tau cos(t^2)dt \\ y=\frac{1}{a} \int _0^ \tau sin(t^2)dt \tag2 \end{array} x=a1∫0τcos(t2)dty=a1∫0τsin(t2)dt(2)

方程（2）虽然形式简单，但是一个超越方程，当前没有精确解。通过使用python定积分模块近似求解方程（2），并绘制图片如下。计算时间有点长，耐心等待即可。

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import *
import mathfig = plt.figure()
ax1 = fig.add_subplot(111)
#ax1.set_title('Fig')
plt.xlabel('x(m)')
plt.ylabel('y(m)')if __name__ == '__main__':pi = 3.14159265a = 0.5x_list = [0]y_list = [0]t = symbols('t')for i in range(500):theta = (i + 1) * 2 * 3.14159265 / 360x = a * integrate(cos(t * t), (t, 0, theta))y = a * integrate(sin(t * t), (t, 0, theta))x_list.append(x)y_list.append(y)print(i, x, y)plt.plot(x_list, y_list, '.')plt.show()

以直代曲

使用python求解虽然可以获得非常高的求解精度，但计算速度慢，便考虑使用更简便的方式求解，这里用“以直代曲”的方式绘制clothoid曲线。迭代公式如式（3）所示。
rn=2/(2kn−1+adl)kn=kn−1+adlθn=θn−1+dl/rnxn=xn−1+dlcos(θn)yn=yn−1+dlsin(θn)(3)\begin{array}{l} r_n=2/(2k_{n-1}+adl) \\ k_n=k_{n-1}+adl \\ \theta _n=\theta _{n-1} +dl/r_n \\ x_n=x_{n-1} + dlcos(\theta_n) \\ y_n=y_{n-1} + dlsin(\theta_n) \tag3 \end{array} rn=2/(2kn−1+adl)kn=kn−1+adlθn=θn−1+dl/rnxn=xn−1+dlcos(θn)yn=yn−1+dlsin(θn)(3)

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import *
import mathfig = plt.figure()
ax1 = fig.add_subplot(111)
#ax1.set_title('Fig')
plt.xlabel('x(m)')
plt.ylabel('y(m)')if __name__ == '__main__':dl = 0.01a = 2k0 = 0x = 0y = 0theta= 0x_list = [0]y_list = [0]for i in range(500):r = 2 / (2 * k0 + a * dl)k0 += a * dltheta += dl / rx += dl * cos(theta)y += dl * sin(theta)x_list.append(x)y_list.append(y)dl = 0.01a = 1k0 = 0x = 0y = 0theta= 0x_list2 = [0]y_list2 = [0]for i in range(500):r = 2 / (2 * k0 + a * dl)k0 += a * dltheta += dl / rx += dl * cos(theta)y += dl * sin(theta)x_list2.append(x)y_list2.append(y)plt.plot(x_list, y_list, '-')plt.plot(x_list2, y_list2, '-')plt.show()

注意事项

精度要求高，相对求解时间长；
可以使用数值积分的方式对式（2）进行求解，如高斯——勒让德求积公式精度高，求解速度快；
“以直代曲”虽然计算速度快，最终会有不收敛的问题，可以调整步长进行缓解；

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绘制clothoid曲线

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