幸存者偏差

什么是幸存者偏差

幸存者偏差，另译为“生存者偏差”或“存活者偏差”，是一种常见的逻辑谬误（“谬误”而不是“偏差”），意思是只能看到经过某种筛选而产生的结果，而没有意识到筛选的过程，因此忽略了被筛选掉的关键信息。这东西的别名有很多，比如“沉默的数据”、“死人不会说话”等等。

幸存者偏差的案例:

关于幸存者偏差(Survivorship Bias),有一个较知名的“飞机防护”案例。
　　1941年,第二次世界大战中,美国哥伦比亚大学统计学沃德教授(Abraham Wald)应军方要求,利用其在统计方面的专业知识来提供关于《飞机应该如何加强防护,才能降低被炮火击落的几率》的相关建议。沃德教授针对联军的轰炸机遭受攻击后的数据,进行研究后发现:机翼是最容易被击中的位置,机尾则是最少被击中的位置。沃德教授的结论是“我们应该强化机尾的防护”,而军方指挥官认为“应该加强机翼的防护,因为这是最容易被击中的位置”。
　　沃德教授坚持认为:

1. 统计的样本,只涵盖平安返回的轰炸机;
2. 被多次击中机翼的轰炸机,似乎还是能够安全返航;
3. 而在机尾的位置,很少发现弹孔的原因并非真的不会中弹,而是一旦中弹,其安全返航的概率就微乎其微。

军方采用了教授的建议,并且后来证实该决策是正确的,看不见的弹痕却最致命!

这个故事有两个启示:
　　一是战死或被俘的飞行员无法发表意见,所以弹痕数据的来源本身就有严重的偏误;
　　二是作战经验丰富的飞行员的专业意见也不一定能提升决策的质量,因为这些飞行员大多是机翼中弹而机尾未中弹的幸存者。

俗语“死人不会说话”很好地解释了这种偏差的重要成因。当我们分析问题所依赖信息全部或者大部分来自“显著的信息”,较少利用“不显著的信息”甚至彻底忽略“沉默的信息”,得到的结论与事实情况就可能存在巨大偏差。

再比如媒体调查“喝葡萄酒的人长寿”。一般是调查了那些长寿的老人,发现其中很多饮用葡萄酒。但还有更多经常饮用葡萄酒但不长寿的人已经死了,媒体根本不可能调查到他们。

回到投资领域,在投资理财类电视节目中,我们经常看到取得成功的投资者谈论其投资经验和方法,但观众往往会忽略了一个事实:采用同样经验和方法而投资失败的人是没有机会上电视的。幸存者偏差现象可能导致以下的结果:(1)投资成功者出书出名,失败者将默默无闻,导致电视上大量专家在传经布道、市面上充斥着太多投资成功学类的书籍,可能会让观众或读者高估了通过投资获得成功的概率;(2)由于条件限制或者心理因素,投资成功者难以保证理性和客观,容易夸大自己能力、忽略运气因素、弱化当时所承担的风险等。

另外,在投资领域,幸存者偏差还具有明显的时间周期。股市具有系统性波动特点,导致样本特征产生时间分布偏差,很明显例子是我国2006年、2007年的“股神”要比2008年多得多。

对于如何消除幸存者偏差的误区,没有好的办法,但如果能做到以下几点,应该有些好处:(1)在投资领域,我们改变不了生存者偏差现象的存在,但我们可以努力不盲从所谓的权威;(2)对于基金、私募以及个人投资者的能力评价,要看长期的、最好是跨越多个经济周期的业绩记录;(3)为了使样本更反映事实,我们更应该搜集介绍投资失败的案例和总结,不但要向成功的人学习如何成功,更要从失败的人那里总结为什么失败,因为投资很大程度上是个避免失败的过程。

个人感悟：

关于衡量一个人聪不聪明，除了传统的学院标准（诸如考试之类的），我觉得很重要的一方面就是看伊有多少盲点，这个准则甚至比学院标准更重要。学院标准只是临时性的，毕业了也就没什么用了；而清除盲点则是一个人一生的事情。

心理学中有大量的例子来说明这些盲点，这也是为什么我认为心理学是一门很最重要的学科的原因。比如大约是 2011 年左右我看了一个试验视频，当时我就震惊了。看过这个试验的人应该都知道我在说什么，没看过的我也就不剧透了。

这种认知偏差就是我们视觉1里很容易出现的盲点。掌握了这个法门之后，我不敢说能增强一个人的判断力，但起码能养成凡事多考虑几方面可能性的习惯，不要给自己留下太多盲点。比如如何看待成功，XKCD 又一次散发出机智的光芒：

这就是经典的幸存者偏差（Survivorship bias）。我们只能看到那些成功人士如何成功，而没考虑（1）他们的运气因素，例如这里 XKCD 带有讽刺意味的买彩票成功人士；（2）那些没成功的人为什么没成功，因为没成功的人的声音你听不到。

墨菲定律

定义

墨菲定律（英语：Murphy’s Law），又译为摩菲定律，具体内容是“凡是可能出错的事就一定会出错”，指的是任何一个事件，只要具有大于零的几率，就可确定它终有一天会发生。墨菲定律的原句是：如果有两种或两种以上的方式去做某件事情，而其中一种选择方式将导致灾难，则必定有人会做出这种选择。在科学和算法方面，与英文所谓的“worst-case scenario（最恶劣的情况）”同义，数学上用大O符号来表示。例如，对插入排序来说，最恶劣的情形即是要排序的阵列完全倒置，必须进行 n*(n-1) 次的置换才能完成排序。在实验上，证明了最恶劣的情况不会发生，并不代表比它轻微的情形就不可能，除非能够很有信心的推论事件的概率分布是线型的。在文化方面，它就代表着一种近似反讽的幽默，当作对日常生活中不满的排解。

历史

墨菲定律自古以来即有，如民谣所说：“面包落地的时候，永远是抹黃油的一面着地。”

I never had a slice of bread particularly large and wide that did not fall upon the floor and always on the buttered side.

墨菲定律的名称据说可追溯至1948至49年，美国空军John Paul Stapp上校进行MX981研究计划时，想用高速载人工具火箭雪橇（Rocket sled）测试火箭减速时的G力，团队中的工程师爱德华·A·墨菲（Edward_A._Murphy,_Jr.）在试作时让助理连接线路到受试黑猩猩的安全带上的感应器，结果读数却是零，后来才发现所有感应器都接反了，墨菲因此感叹说一件事可能出错时就一定会出错。
墨菲定律的启示
　　“墨菲定律”诞生于20世纪中叶，这正是一个经济飞速发展，科技不断进步，人类真正成为世界主宰的时代。在这个时代，处处弥漫着乐观主义的精神：人类取得了对自然、对疾病以及其他限制的胜利，并将不断扩大优势；我们不但飞上了天空，而且飞向太空……我们能够随心所欲地改造世界的面貌，这一切似乎昭示着：一切问题都是可以解决的。无论是怎样的困难和挑战，我们总能找到一种办法或模式战而胜之。

正是这种盲目的乐观主义，使我们忘记了对于亘古长存的茫茫宇宙来说，我们的智慧只能是幼稚和肤浅的。世界无比庞大复杂。人类虽很聪明，并且正变得越来越聪明，但永远也不能彻底了解世间的万事万物。人类还有个难免的弱点，就是容易犯错误，永远会犯错误。正是因为这两个原因，世界上大大小小的不幸事故、灾难才得以发生。

近半个世纪以来，“墨菲定律”曾经搅得世界人心神不宁，它提醒我们：我们解决问题的手段越高明，我们将要面临的麻烦就越严重。事故照旧还会发生，永远会发生。“墨菲定律”忠告人们：面对人类的自身缺陷，我们最好还是想得更周到、全面一些，采取多种保险措施，防止偶然发生的人为失误导致的灾难和损失。归根到底，“错误”与我们一样，都是这个世界的一部分，狂妄自大只会使我们自讨苦吃，我们必须学会如何接受错误，并不断从中学习成功的经验。

我们都有这样的体会，如果在街上准备拦一辆车去赴一个时间紧迫的约会，你会发现街上所有的出租车不是有客就是根本不搭理你，而当你不需要租车的时候，却发现有很多空车在你周围游弋，只待你的一扬手，车随时就停在你的面前。如果一个月前在浴室打碎镜子，尽管仔细检查和冲刷，也不敢光着脚走路，等过了一段时间确定没有危险了，不幸的事还是照样发生，你还是被碎玻璃扎了脚。如果你把一片干面包掉在你的新地毯上，它两面都可能着地。但你把一片一面涂有果酱的面包掉在新地毯上，常常是有果酱的那面朝下。

“墨菲定律”告诉我们，容易犯错误是人类与生俱来的弱点，不论科技多发达，事故都会发生。而且我们解决问题的手段越高明，面临的麻烦就越严重。所以，我们在事前应该是尽可能地想得周到、全面一些，如果真的发生不幸或者损失，就笑着应对吧，关键在于总结所犯的错误，而不是企图掩盖它。

墨菲定律的演化版本

墨菲定律的原句是这样的：If there are two or more ways to do something，and one of those ways can result in a catastrophe，then someone will do it（如果有两种选择，其中一种将导致灾难，则必定有人会作出这种选择）。到今天，它已经派生出以下的版本：

1．别试图教猫唱歌，这样不但不会有结果，还会惹猫不高兴?

2．别跟傻瓜吵架，不然旁人会搞不清楚，到底谁是傻瓜?

3．不要以为自己很重要，因为没有你，太阳明天还是一样从东方升上来?

4．笑一笑，明天未必比今天好。

5．好的开始，未必就有好结果；坏的开始，结果往往会更糟。

6．你若帮助了一个急需用钱的朋友，他一定会记得你——在他下次急需用钱的时候。

7．有能力的——让他做；没能力的──教他做；做不来的──管理他。

8．你早到了，会议却取消；你准时到，却还要等；迟到，就是迟了。

9．你携伴出游，越不想让人看见，越会遇见熟人。

10．你爱上的人，总以为你爱上他是因为：他使你想起你的老情人。

11．你最后硬着头皮寄出的情书；寄达对方的时间有多长，你反悔的时间就有多长。

12．东西越好，越不中用。

13．一种产品保证60天不会出故障，等于保证第61天一定就会坏掉。

14．东西久久都派不上用场，就可以丢掉；东西一丢掉，往往就必须要用它。

15．你丢掉了东西时，最先去找的地方，往往也是可能找到的最后一个地方。

16．你往往会找到不是你正想找的东西。

17．你出去买爆米花的时候，银幕上偏偏就出现了精彩镜头。

18．另一排总是动的比较快；你换到另一排，你原来站的那一排，就开始动的比较快了；你站的越久，越有可能是站错了排。

19．一分钟有多长？ 这要看你是蹲在厕所里面，还是等在厕所外面。

墨菲定律应用分析

案例一：从墨菲定律看安全管理的警示职能[1]
　　一、正确认识墨菲定律
　　对待这个定律，安全管理者存在着两种截然不同的态度：一种是消极的态度，认为既然差错是不可避免的，事故迟早会发生，那么，管理者就难有作为；另一种是积极的态度，认为差错虽不可避免，事故迟早要发生的，那么安全管理者就不能有丝毫放松的思想，要时刻提高警觉，防止事故发生，保证安全。正确的思维方式是后者。根据墨菲定律可得到如下两点启示：

认识之一：不能忽视小概率危险事件

由于小概率事件在一次实验或活动中发生的可能性很小，因此，就给人们一种错误的理解，即在一次活动中不会发生。与事实相反，正是由于这种错觉，麻痹了人们的安全意识，加大了事故发生的可能性，其结果是事故可能频繁发生。譬如，中国运载火箭每个零件的可靠度均在0.9999以上，即发生故障的可能性均在万分之一以下，可是在1996、1997两年中却频繁地出现发射失败，虽然原因是复杂的，但这不能不说明小概率事件也会常发生的客观事实。纵观无数的大小事故原因，可以得出结论：“认为小概率事件不会发生”是导致侥幸心理和麻痹大意思想的根本原因。墨菲定律正是从强调小概率事件的重要性的角度明确指出：虽然危险事件发生的概率很小，但在一次实验（或活动）中，仍可能发生，因此，不能忽视，必须引起高度重视。

认识之二：墨菲定律是安全管理过程中的长鸣警钟

安全管理的目标是杜绝事故的发生，而事故是一种不经常发生和不希望有的意外事件，这些意外事件发生的概率一般比较小，就是人们所称的小概率事件。由于这些小概率事件在大多数情况下不发生，所以，往往被人们忽视，产生侥幸心理和麻痹大意思想，这恰恰是事故发生的主观原因。墨菲定律告诫人们，安全意识时刻不能放松。要想保证安全，必须从现在做起，从我做起，采取积极的预防方法、手段和措施，消除人们不希望有的和意外的事件。

二、发挥警示职能，提高安全管理水平
　　安全管理的警示职能是指在人们从事生产劳动和有关活动之前将危及安全的危险因素和发生事故的可能性找出来，告诫有关人员注意并引起操作人员的重视，从而确保其活动处于安全状态的一种管理活动。由墨菲定律揭示的两点启示可以看出，它是安全管理的一项重要职能，对于提高安全管理水平具有重要的现实意义。在安全管理中，警示职能将发挥如下作用：

1)　警示职能是安全管理中预防控制职能得以发挥的先决条件

任何管理，都具有控制职能。由于不安全状态具有突发性的特点，使安全管理不得不在人们活动之前采取一定的控制措施、方法和手段，防止事故发生。这说明安全管理控制职能的实质内核是预防，坚持预防为主是安全管理的一条重要原则。墨菲定律指出：只要客观上存在危险，那么危险迟早会变成为不安全的现实状态。所以，预防和控制的前提是要预知人们活动领域里固有的或潜在的危险，并告诫人们预防什么，并如何去控制。

2)　发挥警示职能，有利于强化安全意识

安全管理的警示职能具有警示、警告之意，它要求人们不仅要重视发生频率高、危险性大的危险事件，而且要重视小概率事件；在思想上不仅要消除麻痹大意思想，而且要克服侥幸心理，使有关人员的安全意识时刻不能放松，这正是安全管理的一项重要任务。

3)　发挥警示职能，变被动管理为主动管理

传统安全管理是被动的安全管理，是在人们活动中采取安全措施或事故发生后，通过总结教训，进行“亡羊补牢”式的管理。当今，科学技术迅猛发展，市场经济导致个别人员的价值取向、行为方式不断变化，新的危险不断出现，发生事故的诱因增多，而传统安全管理模式已难于适应当前情况。为此，要求人们不仅要重视已有的危险，还要主动地去识别新的危险，变事后管理为事前与事后管理相结合，变被动管理为主动管理，牢牢掌握安全管理的主动权。

4)　发挥警示职能，提高全员参加安全管理的自觉性

安全状态如何，是各级各类人员活动行为的综合反映，个体的不安全行为往往祸及全体，即“100-1=0”。因此，安全管理不仅仅是领导者的事，更与全体人员的参与密切相关。根据心理学原理，调动全体人员参加安全管理积极性的途径通常有两条：①激励：即调动积极性的正诱因，如奖励、改善工作环境等正面刺激；②形成压力：即调动积极性的负诱因，如惩罚、警告等负面刺激。对于安全问题，负面刺激比正面刺激更重要，这是因为安全是人类生存的基本需要，如果安全，则被认为是正常的；若不安全，一旦发生事故会更加引起人们的高度重视。因此，不安全比安全更能引起人们的注意。墨菲定律正是从此意义上揭示了在安全问题上要时刻提高警惕，人人都必须关注安全问题的科学道理。这对于提高全员参加安全管理的自觉性，将产生积极的影响。

三、结束语

墨菲定律的内容并不复杂，道理也不深奥，关键在于它揭示了在安全管理中人们为什么不能忽视小概率事件的科学道理；揭示了安全管理必须发挥警示职能，坚持预防为主原则的重要意义；同时指出，对于人们进行安全教育，提高安全管理水平具有重要的现实意义。
　　
　　参考：简论安全管理的警示职能——墨菲定律的启示 崔全会 中国安全科学学报 1999/04
　　https://www.popularonline.com.my/sgchinese/catalog/product/view/_ignore_category/1/id/33986/s/9787511344090/

幂律分布

定义

自然界与社会生活中存在各种各样性质迥异的幂律分布现象，因而对它们的研究具有广泛而深远的意义。借助于有效的物理和数学工具以及强大的计算机运算能力，科学家们对幂律分布的本质有了进一步深层次的理解。当样本数据较多时，变量x的概率密度函数：f(x)~x^(-α-1)。

比例之谜

律分布是自然界广泛存在的一种分布形式， 各种各样的物理、生物、社会现象的分布都遵循着幂律， 比如牛顿万有引力定律、月球坑大小的分布、语言的用词频率等等。

在数学上描述为：

其中， a和k都是常数，ε是一个渐近微小函数.

下图是一个幂律分布的图样(展示人气排名的规律)：

在统计学中， 幂律是两个量之间的函数关系，其中一个量的相对变化会导致另一个量的相应幂次比例的变化.

幂律分布是一种分布形式，帕累托分布、齐普夫定律、克莱伯定律等都是一种幂律分布。

标度不变性

幂律分布具有标度不变性，就是说变量x的变化将会导致函数值 f(x) 的相应幂次比例的变化，且与初值无关。

那么，什么是标度不变性？

标度不变性 (Scale invariance) 也称为尺度不变性、无尺度性。 用来形容结构、形状或者规律并不随变量的尺度的变化的影响的特性。

简而言之：形式不随尺度变化。

例如，正方形的面积S与边长X的平方关系 S=X**2， 是具有标度不变性的，边长扩大2倍，面积则扩大4倍：

分形具有标度不变性， 更确切地，是具有自相似特点。

下面的科赫曲线是一个典型的分形图形， 它具有标度不变性，在任意大小的尺度上，都有相似的结构：

齐夫定律

齐夫定律 Zipf’s law 是描述自然语言中单词出现的频率的分布规律的实验性质的定律。

一个单词出现的频率与它在频率表里的排名成反比.

频率最高的单词出现的频率大约是出现频率第二位的单词的2倍， 而出现频率第二位的单词则是出现频率第四位的单词的2倍。

下图是维基百科排名前100的最常用词和它们的出现频率的分布图，符合一个幂律分布（幂指数小于1）：

齐夫定律，不仅适用于语料全体，也适用于单独的一篇文章。

但注意的是，齐夫定律是一种实验性质的定律，并不是理论定律。

齐夫定律是如何形成的呢？有很多种解释。 齐夫本人的解释是这样的：

• 一方面，人们都遵循「最省力原则」，也就是说，一旦用到一个词表达一个意思，对类似的情况自然用仍用这个词更省力。
• 另一方面，人们希望语言没有歧义，这又需要用不同的词表达相似但是又不完全一样的意思。

齐夫在数学上证明了上面两种原因会产生幂律分布。

曼德布罗特从信息量的角度给出了一种解释： 信息发送者在将信息量最大化的同时，尽量将发送信息的成本最小化。 并证明了，如果同时优化信息量和传输成本，就会导致齐夫定律。

有趣的是，心理学家乔治米勒使用简单的概率论证明，猴子在键盘上随意敲击，如果偶然敲到了空格键就断词， 这样得到的文本同样遵循齐夫定律。

克莱伯定律

克莱伯定律(Kleiber’s law)， 也叫做代谢比例理论， 描述了动物的代谢率和体重的幂次关系：

根据观测数据提出，对于很多动物，其基础代谢率水平与体重的3/4次幂成正比.

用数学式来表达就是：

下图是代谢率和动物体重的关系的双对数图，两边同时取对数得 log(R)∝3/4log(M)，可以看到是一个正比直线， 直线的斜率就是幂律的指数，这里是3/4

代谢比例理论，对于生物学的重要性就好比牛顿的发现对于物理学的重要性。

为什么是3/4？ 定律背后的原因非常有趣，和分形结构有关。

生命体的主要器官和结构都是具有自相似特征的分形结构，例如人体的肺器官：

在《复杂》一书中，关于克莱伯定律，给出了这样的说法，『分形给了生物第四维』：

虽然生物是三维的，内部的生理结构和运作却表现为四维…
分形几何给了生命额外一个维度。 – 《复杂》

对克莱伯定律详细的解释见下面的「克莱伯定律的解释」部分。

分形和分形维数

在上面的克莱伯定律中，提到了分形维数的概念。 那分析维数是什么呢？ 首先，要了解下分形结构。

分形是在任何尺度上都有微细结构的几何形状， 具有 自相似性 和 无尺度性。分形也被称为扩展对称或展开对称。 如果在每次放大后，形状的重复是完全相同的，这被称为自相似。 分形在不同的缩放级别上可以是近似相似的。

著名的分形结构有科赫曲线， 康托尔集等.

下面是一个科赫曲线的分形过程示例： 每个线段都三等分，不断重复这个过程。

可以看到，科赫曲线拥有自相似的特点，尺度的缩小和放大，并不影响它的形状。

另外， 科赫曲线的长度是无限大的，连续而无处可微。

分形维数一般是指豪斯多夫维数： 一个几何结构（线段/图案/立体结构）分形放大了L次后，其占有的空间（对应的：长度/面积/体积）比原来放大了 LD倍，那么个
D就定义为这个分形结构的维度。

让我们考虑下规则分形下的维数。

一维图形：长度为l的线段，放大后，长度放大了2倍，为 2l.
二维图形：长度为l的正方形，放大后，面积放大了4倍，为 4l2.
三维图形：长度为l的正方体，放大后，体积放大了8倍，为 8l3.

如果将边长变化的倍数记L , 放大后整个图形结构变化的倍数记作 K
，则上述关系可以表达为：

这就是豪斯多夫维数的一般性的定义形式。

对于规则图形， D正好为整数，也就是欧几里得维数(计盒维数).

但是，分形维数不一定永远是整数。

对于科赫曲线， 如下面图例可知，如果将它放大3次，长度会增加4倍， 所以维数是 log4/log3 大约是 1.26 (一个无理数).

对于康托尔集 (给定初始一个线段点集，每次分形都去掉每一段一条线段的中间三分之一)， 对于每次三等分操作之后剩下的两个小线段， 我们把它们放大三倍，会得到两个三等分操作之前的大线段。 也就是说，小的局部放大3倍， 原来的图形长度上放大了2倍，所以，维数是 log2/log3，大约是 0.63。

K=L**D本身即形成了一个幂律关系，其中分形维数 D 就是幂次指数。

可以看出，分形是产生幂律的一种原因。

克莱伯定律的解释

生命体中的很多器官、组织都是分形分支结构， 分形分支结构是具有自相似特征的， 在所有尺度上都自相似意味着空间在所有尺度上都被同等填充， 那就是说，分形分支结构是在尽可能填充空间的每一个角落。 换句容易理解的话说，动物体内的分形网络其实是高效利用空间的， 大肠表面充满了分形褶皱，使得二维面积在三维空间最大化填充。 而动物体积的增大，使得三维分支在四维空间最大化填充。

我们现在反过来看克莱伯定律， 先观察立方体的表面积和体积的幂次关系:

小立方体	中立方体	大立方体
边长	1	2
表面积	6	24
体积	1	8

我们可以总结出一个规律， 就是： 表面积与体积的 2/3 次幂成比例。

这个结论当然也可以直接由体积和表面积公式推导得出（你也可以用球而不是立方体，会有同样的结论）。

不过，我们这里通过分形维数的概念，推导一下， 体积每次扩大为 (2L)**3 倍的时候， 表面积会相应扩大为 6(2L)**2， 现在来计算表面积相对体积的维数D：

那么，进一步推广到四维呢？ 可以得出四维的表面积相对于四维的体积的维数应该是 3/4。 换句话说，四维的表面积(其实就是三维体积)和四维的体积的 3/4
次幂成比例。

所谓的新陈代谢生物体只是一个包含了时间的四维空间中的一个区域， 而如果我们再把生物体的新陈代谢看作是生物体所对应的三维空间中的体积(速率一说除去了时间维度)， 就会有代谢速率正比于四维体积3/4幂次的关系了。 再假设体液（血液等）的总体积正比于体重，即可得出克莱伯定律。

当然，这个角度的解释非常粗糙。不过，我一定要介绍它的原因是因为它让人充满了幻想~。

关于这个角度的解释可以参考：

《复杂》 - 章节：比例之谜
生命之流 - 流动与时间的赛跑： 四维角度
更为准确些（没那么魔)的解释，要看维基百科的「定律背后原因」的部分， 实际上是通过假设：

• 体液总体积V正比与体重。
• 代谢率正比于体液总流量。
• 循环系统由许多微管组成，因此继续假设：

1. 微管的体液流量正比于微管体积, 所以微管总数 N 正比于体液总流量。
2. 微管组成分形结构，有自相似特点，所以 N4 正比于 V3
   基于以上的假设和推论，最终可以推导出克莱伯定律。
   

对于维基百科这个解释，其中至于为什么得出 “N4 正比于 V3” 的结论，真的没看懂！ 不过维基百科给了一个论文链接)， 貌似这是一个叫做「WBE分形网络模型 (West, Brown and Enquist’s Mode)」， 一个圆柱连接成的自相似结构的网络模型，推导出来的数学推论。

另外一个有趣解说的思路，值得看一下： The 3/4 Law

无论如何，还是要推一下当年三位科学家对这个现象做出了很大努力后的解释稿原文吧： life’s universal scaling laws - West,James,Brown

万维网的幂律分布

万维网是一种典型的无尺度网络。

所谓无尺度网络，即具有标度不变性(尺度无关)的复杂网络，其典型特征是在网络中的大部分节点只和很少节点连接， 而有极少的节点与非常多的节点连接。

相比于随机网络而言，无尺度网络中有这样的特征：少量的枢纽节点拥有大量的连接， 例如流量很大的 Google 就是 万维网的一个枢纽节点。

研究发现，入度为k的网页数量正比于1/k**2。 (入度是指指向本网页的链接数量)。

这一现象，仍然是一个幂律分布。 无尺度网络一定遵循连接度幂律分布， 同样拥有自相似特性和无尺度特性。

背后的原因也可以猜测一下： 越流行的网站，越容易拿到其他网页的流入链接，仍然是偏好附连。 这让我想起了「马太效应」: 强者愈强、弱者愈弱的累积反馈现象。

此外，所有的无尺度网络还有「小世界特性」 (但是注意不是所有的小世界网络都是无尺度网络)。

帕累托分布

说到幂律分布，不得不提经济学著名的 帕累托分布 ，是从大量真实世界的现象中发现的幂定律分布，这个分布因其著名的而又发人深省的推论 「80%的财富掌握在20%的人手中」而闻名。

数学上的帕累托分布：

其中 x 是任何一个大于Xmin的数， Xmin 是 x 最小的可能值（正数）， k是为正的参数。 帕累托分布曲线族是由两个数量参数化的：Xmin 和 k。

帕累托分布经常用来描述经济上财富在个体上的分布关系，一个著名的应用是 帕累托法则， 也就是我们常说的二八法则：

在任何一组东西中，最重要的只占其中一小部分，约20%，其余80%尽管是多数，却是次要的。

经常用二八法则描述的现象：

80%的财富掌握在20%的人手里。
80％的销售额来自20％的客户。
意大利约有80％的土地由20％的人口所有。
20%的品牌占据了80%的市场。

而对于我们的人生启示…

我们应该把80%的精力放在20%的主要事务上。

长尾理论

帕累托法则认为企业界80%的业绩来自20%的产品。 然而，长尾理论 则关注其余的80%的”冷门”产品：

由于成本和效率的因素，当商品储存流通展示的场地和渠道足够宽广， 商品生产成本 急剧下降以至于个人都可以进行生产，并且商品的销售成本急剧降低时，几乎任何以前看似需求极低的产品，只要有卖，都会有人买。 这些需求和销量不高的产品所占据的共同市场份额，可以和主流产品的市场份额相比，甚至更大。

上图表达： 将庞大的长尾利基商品量乘以相当小的单项长尾商品销售量，其获利仍极为可观。

说简单些：长尾效应认为小众需求的总和仍然是个大市场！

但是注意长尾的应用条件： 极地的成本、 宽广的渠道。 在生产成本下降、渠道大幅打开的情况下（富余时代），人们的个性化需求的市场总和才足以和主流市场匹敌。

例如：亚马逊一半左右的销售来自于比较热门的商品，而另一半却来自相对不那么热门的商品。

长尾理论看似是对二八法则的挑战，事实上，二者同源，都是幂律现象。

对于二八法则和长尾理论的辩证看法：

• 二八法则：稀缺经济下，边际成本高，符合大众需求的产品有更大的机会卖出， 因此商家重视20%的畅销品，而小众需求被抑制。「边际成本高，小众产品的供给压力大」

• 长尾理论：丰饶经济下，边际成本极低，大众需求可以得到完全满足， 小众需求供给压力得到释放，出现长尾市场。「边际成本低，小众产品的供给压力降低」

对我们的启示而言：

在资源有限、或者边际成本高昂的条件下，精力关注在主要矛盾上。
在资源充裕、或者边际成本低廉的条件下，主要矛盾可以被解决，进而向利基市场要效益。

幂律成因仍是未决之谜

幂律分布在自然、经济和社会活动中广泛存在，除了以上这些，在城市规模、收入、地震、心率变化、 股市波动等现象中都发现了幂律分布。但是对于幂律分布的根本成因，目前却在一定程度上仍然是一个迷。

现在已经出现的各种解释方式有：偏好附连（优先连接）、分形结构、自组织临界性、随机过程等等， 但是哪种机制根本上导致了幂律现象没有统一的共识。

理解幂律分布的根源、意义和在各学科中的共性，是目前许多复杂系统研究领域最为重要的未解决的问题。 – 《复杂》

从我个人上的感觉，幂律形成的一个重要原因是「不断的正反馈」机制。 如果个体之间相互影响，造成了 循环性的正反馈作用导致细节因素不独立，会形成幂律现象。

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