【CF802O】April Fools‘ Problem (hard)（wqs二分，模拟费用流，老鼠进洞）

如果没有恰好为 kkk 的限制的话是个老鼠进洞的经典模型。

加上恰好为 kkk 的限制后考虑使用 wqs 二分，因为费用流每次增广出来的费用是单调不降的。即如果设 g(k)g(k)g(k) 表示总流量恰好为 kkk 的最小花费，那么必有 g(k)−g(k−1)≤g(k+1)−g(k)g(k)-g(k-1)\le g(k+1)-g(k)g(k)−g(k−1)≤g(k+1)−g(k)，且 (k,g(k))(k,g(k))(k,g(k)) 这些点构成一个凸壳。

wqs 二分的大概思路是：首先要求在没有 kkk 的限制下原问题能够快速解决。然后对于一个斜率 ccc，发现我们能快速求出斜率为 ccc 的直线与凸壳相切在哪个点上，因为经过点 (k,g(k))(k,g(k))(k,g(k)) 的斜率为 ccc 的直线在 yyy 轴的截距恰好就是 g(k)−ckg(k)-ckg(k)−ck，代表的意义就是每多 111 的流量就要多花费 ccc 的额外代价，那么我们在这个条件下跑一次没有限制的原问题即可。然后由于这是个凸壳，所以斜率可以二分。

#include<bits/stdc++.h>#define N 500010
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define mk(a,b) make_pair(a,b)using namespace std;inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');ch=getchar();}return x*f;
}struct data
{int a;bool opt;data(){};data(int _a,bool _opt){a=_a,opt=_opt;}bool operator < (const data &b) const{if(a==b.a){if(opt==b.opt) return 0;return b.opt;}return a>b.a;}
};int n,k,a[N],b[N];priority_queue<data>q;int main()
{n=read(),k=read();for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read();int l=0,r=2e9,c=-1;ll inter;while(l<=r){int mid=(0ll+l+r)>>1ll;int nk=0;ll gk=0;while(!q.empty()) q.pop();for(int i=1;i<=n;i++){q.push(data(a[i]-mid,1));data minn=q.top();if(minn.a+b[i]<=0){q.pop();nk+=minn.opt;gk+=0ll+minn.a+b[i];q.push(data(-b[i],0));}}if(nk>=k){c=mid,inter=gk;r=mid-1;}else l=mid+1;}printf("%lld\n",inter+1ll*c*k);return 0;
}

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