一元二次方程的简单解法

2024-05-29 10:22:45

记得在初中三年级就学过求解一元二次方程，万能的求根公式就行了。最近看到卡耐基梅隆大学的一个教授发明了一种简单方法¹，看起来有点意思，的确比求根公式要简单很多。

具体方法

对于任意一个一元二次方程都可以化简为如下形式：
x2+bx+c=0x^2 +b x + c = 0 x2+bx+c=0
两个复数域的根为x1，x2.根据韦达定理

x1+x2=−b,x1x2=cx_1 + x_2 = -b, x_1 x_2 = c x1+x2=−b,x1x2=c

假定存在一个复数z使得：
x1=−b2+zx2=−b2−zx_1 = -\frac{b}{2} + z \\ x_2 = -\frac{b}{2} - zx1=−2b+zx2=−2b−z

那么两个相乘就有：
x1x2=b24−z2=cx_1x_2 = \frac{b^2}{4} - z^2 = c x1x2=4b2−z2=c
可以得到z的结果：
z=±b24−cz = \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - c} z=±4b2−c
于是得到方程的解：
x1,2=−b2±b24−cx_1,_2 = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - c} x1,2=−2b±4b2−c
最终的结果化简以后就是求根公式的结果（否则就有问题了）。从以上的推导过程可能没有发现简单，接下来看几个例子。

例子说明

我们来看一个例子，求解下面方程的根：
x2−2x+4=0x^2 - 2x + 4 = 0 x2−2x+4=0
方程的两根为：
x1,2=1±zx_1,_2 = 1 \pm z x1,2=1±z
(1+z)(1−z)=1−z2=4(1+z)(1-z) = 1-z^2 = 4 (1+z)(1−z)=1−z2=4
z=±3iz =\pm \sqrt 3 i z=±3i

于是方程的根为：
x1,2=1±3ix_1,_2 = 1 \pm \sqrt 3 i x1,2=1±3i

我们再来看一了例子。求解下面方程的根
2x2+3x−4=02x^2 + 3x - 4 = 0 2x2+3x−4=0
化简一下得到：
x2+32x−2=0x^2 + \frac{3}{2}x - 2 = 0 x2+23x−2=0
假设方程的两根为：
x1,2=−34±zx_1,_2 = -\frac{3}{4} \pm z x1,2=−43±z
(−34+z)(−34−z)=916−z2=−2(-\frac 3 4+z)(-\frac 3 4-z) =\frac{9}{16} - z^2 = -2(−43+z)(−43−z)=169−z2=−2
z=±414z = \pm \frac{\sqrt {41} }{4}z=±441
于是方程的根为：
x1,2=−34±414x_1,_2 = -\frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt {41} }{4} x1,2=−43±441

总结

正如作者在原文中说到，使用这个方法你不需要记住公式，同时计算也非常简单。我觉得这个方法有意思的地方在于引入的数z，因为两根之和是-b/2，那么两个根应该在这个平均数上下浮动，假定这个浮动数就是z，只要解出这个浮动数z，方程的就能求解了，而求解z的时候是一个平方差公式，计算就变得非常容易了。

是不是有点意思。在此还是挺佩服作者的思考，不按常规出牌的思维。

参考资料

A new way to make quadratic equations easy ↩︎

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