Day11如何衡量算法的时间复杂度和空间复杂度

一、排序算法的介绍

简介

排序也称排序算法 (Sort Algorithm)，排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程。

排序的分类：

内部排序:

指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器中进行排序。
外部排序法：

数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储进行排序。
常见的排序算法分类(见下图):

二、算法的时间复杂度

1、度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

1)事后统计的方法

这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等

环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。

2)事前估算的方法

通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.

一般使用事前估算法，因为更加方便，可靠

2、算法的时间复杂度介绍及其特点

2.1、时间频度

介绍

时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度

或时间频度。记为T(n)。

基本案例

比如计算1-100所有数字之和, 我们设计两种算法：

第一种循环了100次（total += i），然后最后进行了一次i <= end ,所以是 n + 1.

第二种只进行了一次运算，所以是 1.

2.2、低次项可忽略

结论:

1)2n^2+3n+10 和 2n^2 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10

2)n^2+5n+20 和 n^2 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20

2.3、忽略系数

结论:

1)随着n值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明这种情况下, 5和3可以忽略。

2)而n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方式关键

2.4、时间复杂度

1)一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，

T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

2)T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。

3)计算时间复杂度的方法：

•用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1

•修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²

•去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

3、常见时间复杂度分类

3.1、常见的时间复杂度

说明：

•常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜Ο(nk)＜Ο(2n) ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低

•从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

3.2、常数阶 O(1)

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

int i = 1;
int j = 1;
++i;
j++;
int m = i + j;

上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

3.3、对数阶 O(log2n)

int i = 1;
while(i < n){// 关注点 每次是 * 2，不是 ++i = i * 2;
}

3.4、线性阶 O(n)

int j = 1;
for(int i = 0; i < n; i++){j++;
}

3.5、线性对数阶 O(nlog2n)

说明：线性对数阶O(nlog2n) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(log2n)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(log2n)，也就是了O(nlog2n)

3.6、平方阶 O(n2)

3.7、6)立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

说明：参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似

4、平均时间复杂度与最坏时间复杂度

1)平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。

2)最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。

这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

3)平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。

三、算法的空间复杂度

1)类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。

2)空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，

它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况

3)在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质

空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，

它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况