知识点

一 . 笛卡尔树 Cartesian Tree

笛卡尔树中的节点及元素满足以下两个性质：

① 树中的元素满足二叉搜索树性质，要求按照中序遍历得到的序列为原数组序列

② 树中节点满足堆性质，根节点的值要大于其左右子节点的值

二 . 四毛子算法 Method of Four Russians

（待填坑）

模板题

洛谷 P5854 【模板】笛卡尔树

题目描述

给定一个 $1 \sim n$ 的排列 p，构建其笛卡尔树。

即构建一棵二叉树，满足：

每个节点的编号满足二叉搜索树的性质。
节点 i 的权值为 $p_i$ ，每个节点的权值满足小根堆的性质。

输入格式

第一行一个整数 n。

第二行一个排列 $p_{1 \dots n}$ 。

输出格式

设 $l_i,r_i$ 分别表示节点 i 的左右儿子的编号（若不存在则为 0）。

一行两个整数，分别表示 $\operatorname{xor}_{i = 1}^n i \times (l_i + 1)$ 和 $\operatorname{xor}_{i = 1}^n i \times (r_i + 1)$ 。

输入输出样例

输入 #1

5
4 1 3 2 5

输出 #1

19 21

说明/提示

【样例解释】

i	$l_i$	$r_i$
1	0	0
2	1	4
3	0	0
4	3	5
5	0	0

【数据范围】

对于 30% 的数据， $n \leqslant 10^3$ 。

对于 60% 的数据， $n \leqslant 10^5$ 。

对于 80% 的数据， $n \leqslant 10^6$ 。

对于 90% 的数据， $n \leqslant 5 \times 10^6$ 。

对于 100% 的数据， $1 \leqslant n \leqslant 10^7$ 。

（待填坑）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define ll long long
#define re register
using namespace std;
int n,top=0,k=0;
ll int L,R;
const int maxn=1e7+5,INF=0x3f3f3f3f;
int a[maxn],left_tree[maxn],right_tree[maxn],s[maxn];inline int read()
{int x=0,f=1;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}return x*f;
}inline void make_tree(int l,int r) //使用单调栈维护建树
{for(re int i=l;i<=r;++i){k=top;while(k&&a[s[k]]>a[i]) k--;if(k) right_tree[s[k]] =i;if(k<top) left_tree[i]=s[k+1];s[++k]=i;top=k;}
}int main()
{n=read();for(re int i=1;i<=n;++i){a[i]=read();}make_tree(1,n);for(re int i=1;i<=n;++i){L^=1ll*i*(left_tree[i]+1); //要转换成long long形式R^=1ll*i*(right_tree[i]+1);}printf("%lld %lld",L,R);return 0;
}

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思路：题目很长，但有用的信息缩减得：有 $n(n\leqslant2\times10^7)$ 个数， $m(m\leqslant2\times10^7)$ 个询问，每次询问问区间[l,r]中的最大值。可以用笛卡尔树求RMQ最值。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
/****随机数生成器，题目已给出****/
namespace GenHelper
{unsigned z1,z2,z3,z4,b;unsigned rand_(){b=((z1<<6)^z1)>>13;z1=((z1&4294967294U)<<18)^b;b=((z2<<2)^z2)>>27;z2=((z2&4294967288U)<<2)^b;b=((z3<<13)^z3)>>21;z3=((z3&4294967280U)<<7)^b;b=((z4<<3)^z4)>>12;z4=((z4&4294967168U)<<13)^b;return (z1^z2^z3^z4);}
}
void srand(unsigned x)
{using namespace GenHelper;
z1=x; z2=(~x)^0x233333333U; z3=x^0x1234598766U; z4=(~x)+51;}
int read()
{using namespace GenHelper;int a=rand_()&32767;int b=rand_()&32767;return a*32768+b;
}/***构造笛卡尔树及查询函数***/
int n,m,s;
const int maxn=20000005;
int a[maxn],ltree[maxn],rtree[maxn],st[105];int query(int l,int r) //找到当前区间的最大值
{int rt=st[1];for(;;){if(l<=rt && rt<=r) return a[rt];if(rt<r) rt=rtree[rt];else rt=ltree[rt];}
}void make_tree() //笛卡尔树有两种写法
{int top=0;for(int i=1;i<=n;++i){int k=0;while(top&&a[st[top]]<=a[i]) k=st[top--];ltree[i]=k;if(top) rtree[st[top]]=i;st[++top]=i;}}int main()
{cin>>n>>m>>s;srand(s);for(int i=1;i<=n;++i){a[i]=read();}    make_tree();unsigned long long ans=0;int l,r;for(int i=1;i<=m;++i){l=read()%n+1; r=read()%n+1;if(l>r) swap(l,r);ans+=query(l,r);}cout<<ans;return 0;
}

2 . 洛谷 P1377 [TJOI2011] 树的序

思路：由题得：给一个生成序列，建出一棵笛卡尔树，求字典序最小的可以得到相同笛卡尔树的生成序列，最后进行笛卡尔树的先序遍历。

进行先序遍历的原因：根据二叉搜索树的性质，其先序的字典序最小，先要确认根节点的位置，再确认左子树，最后确认右子树

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,k=0,top=0;
const int maxn=1e7+5;
int a[maxn],st[maxn],ltree[maxn],rtree[maxn];
inline int read()
{int x=0,f=1;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}return x*f;
}inline void dfs(int x)
{if(x!=0) {printf("%d ",x); //输出根节点后进行左右子树的查找dfs(ltree[x]);dfs(rtree[x]);}
}int main()
{n=read();for(int i=1;i<=n;++i){int x=read();a[x]=i; //转换成输入的值的序号进行建树}for(int i=1;i<=n;++i){k=top;while(k && a[st[k]]>a[i]) k--;if(k) rtree[st[k]]=i;if(k<top) ltree[i]=st[k+1];st[++k]=i;top=k;}dfs(st[1]); //从根开始搜索return 0;
}

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