凸优化读书笔记01(仿射集合、仿射组合，仿射包)

2024-06-01 11:20:18

第一章引言

引言部分主要介绍了三个部分：

第一部分：数学优化问题简介及其应用范例

第二部分：凸优化问题简介及两种特殊凸优化问题

第三部分：本书的内容编排

本章重点：

1.明确凸优化问题是数学优化问题的其中一个部分

2.优化问题的一般数学表述

第二章凸集

基本概念

1. 仿射集合

定义：如果通过集合 $C \subseteq R^n$ 中任意两个不同点的直线仍在集合C中，那么称集合C是仿射的。

数学表达： $\forall x_1,x_2\in C, \theta \in R,$ 有 $\theta x_1+(1-\theta)x2 \in C.$

【注：为便于指代，将 $\theta$ 记为 $\theta_1$ ， $1-\theta$ 记为 $\theta_2$ ，即有 $\theta_1 + \theta_2 = 1$ 】

直观理解：

通俗理解：一条直线是仿射集合，因为任意两点连成的直线所有点仍在这条直线上。但是一条线段就不是仿射集合，原因是在任意两点连成的直线上，有些点并不在线段上，不满足仿射集合的条件。将上述概念扩展到二维来说，整个二维空间才算仿射集合，有限的二维空间不算是仿射集合。

2. 仿射组合

原概念：仿射集合C包含了C中任意两点的系数 $\theta_1,\theta_2$ 之和为1的线性组合。

定义：若 $\theta_1+...+\theta_k=1$ ，我们称具有 $\theta_1x_1+...+\theta_kx_k=1$ 形式的点为 $x_1,...,x_k$ 的仿射组合。

通俗理解：将原概念扩展到多个点的情况。

3. 仿射包

定义：集合 $C \subseteq R^n$ 中的所有点的所有仿射组合组成的集合为C的仿射包，记为aff C。仿射包是包含C的最小仿射集合。

数学表达： $\mathbf{aff} C = \begin{Bmatrix} \theta_1x_1+...+\theta_kx_k|x_1,..,x_k \in C, \theta_1+...+\theta_k=1 \end{Bmatrix}$

通俗理解：假设集合C里有k个点，这k个点可以按照仿射组合的概念任意搭配，仿射包能够容纳你给出的所有搭配。

参考文献

[美]S. Boyd, L. Vandenberghe. 凸优化[M]. 王书宁, 许鋆, 黄晓霖. 北京: 清华大学出版社, 2013.

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