Chapter 3

Lesson 1

Hint1{Hint}^1Hint1：微分中值定理——联系函数和导数

费马引理：对于邻域U(x0)U(x_0)U(x0)，如果对于f(x)≤f(x0)f(x) \leq f(x_0)f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)f(x) \geq f(x_0)f(x)≥f(x0) )，那么f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0)=0
罗尔定理：
1、在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续
2、在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导
3、在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)，那么在(a,b)(a,b)(a,b)内至少一个点 xxx,f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0

PS:PS:PS:
验证有根 : 零点定理和罗尔定理

Hint2{Hint}^2Hint2：拉格朗日中值定理——联系函数和导数

如果函数f(x)f(x)f(x)满足：
1、在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续
2、在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导
那么在(a,b)(a,b)(a,b)内至少有一点xxx,使f(b)−f(a)=f′(x)(b−a)f(b)-f(a)=f'(x)(b-a)f(b)−f(a)=f′(x)(b−a)

Hint3{Hint}^3Hint3：

证明 x>0x>0x>0 时，x1+x<ln⁡(x+1)<x\frac{x}{1+x}<\ln(x+1)<x1+xx<ln(x+1)<x
证明:
令 f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln(1+x)f(x)=ln(1+x)在[0,x][0,x][0,x]上，则f(x)−f(0)=xf′(δ)f(x) - f(0) = xf'(\delta)f(x)−f(0)=xf′(δ)
则，ln⁡(1+x)=11+δx\ln(1+x)=\frac{1}{1+\delta}xln(1+x)=1+δ1x，δ∈(0,x)\delta \in (0,x)δ∈(0,x)
所以，得证。
PS:PS:PS:
1、遇到f(b)−f(a)f(b)-f(a)f(b)−f(a)
2、把fff和导数联系

Hint4{Hint}^4Hint4：柯西中值定理

如果f(x)f(x)f(x)或F(x)F(x)F(x)满足
1、在区间[a,b][a,b][a,b]上连续
2、在开区间可导
3、对任一xxx∈(a,b)(a,b)(a,b)，F′(x)!=0F'(x)!=0F′(x)!=0
则存在一点δ∈(a,b)\delta \in (a,b)δ∈(a,b)，使f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(δ)F′(δ)\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\delta)}{F'(\delta)}F(b)−F(a)f(b)−f(a)=F′(δ)f′(δ)
PS:PS:PS:
一般FFF是具体函数，fff是抽象的

Lesson 2

Hint1{Hint}^1Hint1：

洛必达法则：
1、00\frac{0}{0}00或者∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞
2、在去心邻域内，f′(x)f'(x)f′(x)及F′(x)F'(x)F′(x)都存在，且F′(x)≠0F'(x)≠0F′(x)=0
3、求导后的极限存在，或者无穷大
PS:PS:PS:
求导后的极限可以得到原来的极限。
但是从原来的极限，不能得到求导后的极限。
例如：
lim⁡x→∞x+sin⁡xx=lim⁡(1+cos⁡x)\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x}=\lim (1 + \cos x)x→∞limxx+sinx=lim(1+cosx)
求导后的极限振荡不存在，不能使用洛必达法则。
例：
lim⁡x→+∞ln⁡xnxn=0\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{nx^{n}}=0x→+∞limnxnlnx=0
lim⁡x→+∞xneλx=lim⁡x→+∞n!λneλx=0\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^n}{e^{\lambda x}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{n!}{\lambda^n e^{\lambda x}}=0x→+∞limeλxxn=x→+∞limλneλxn!=0
综上所述，则有x→+∞,ln⁡x<<xn<<eλx(n>0,λ>0)x\to +\infty,\ln x << x^n<<e^{\lambda x}(n>0,\lambda >0)x→+∞,lnx<<xn<<eλx(n>0,λ>0)
lim⁡x→0+xnln⁡x=lim⁡x→0+ln⁡x1xn=0\lim\limits_{x \to 0^+ }x^n \ln x=\lim\limits_{x\to 0^+}{\frac{\ln x}{\frac{1}{x^n}}}=0x→0+limxnlnx=x→0+limxn1lnx=0
lim⁡x→π2sec⁡x−tan⁡x=lim⁡x→π2(1cos⁡x−sin⁡xcos⁡x)=0\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}}\sec x-\tan x=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}}(\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x})=0x→2πlimsecx−tanx=x→2πlim(cosx1−cosxsinx)=0
PS:PS:PS:
0∗∞0*\infty0∗∞变成0∗00*00∗0或者∞∗∞\infty*\infty∞∗∞，需要把对数和反三角函数作为分子，否则过于麻烦

Hint2{Hint}^2Hint2：幂指函数求极限f(x)g(x)=eg(x)ln⁡f(x)f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}f(x)g(x)=eg(x)lnf(x)

00:0^0:00:lim⁡x→0xx=e0=1\lim\limits_{x\to0}x^x=e^0=1x→0limxx=e0=1
∞0:\infty^0:∞0:lim⁡x→0+(1x)tan⁡x=e0=1\lim\limits_{x\to0^+}(\frac{1}{x})^{\tan x}=e^0=1x→0+lim(x1)tanx=e0=1
1∞:1^{\infty}:1∞:lim⁡x→+∞(2πarctan⁡x)x=e−2π\lim\limits_{x\to +\infty}(\frac{2}{\pi}\arctan x)^x=e^{-\frac{2}{\pi}}x→+∞lim(π2arctanx)x=e−π2洛必达；
用凑重要极限也可以，最终要求:lim⁡(arctan⁡x−π2)x=−1\lim(\arctan x-\frac{\pi}{2} )x=-1lim(arctanx−2π)x=−1
这里

Lesson 3

Hint1{Hint}^1Hint1：

f(x)=f(x0)+∑f′(x0)k!(x−x0)k+o((x−x0)n)f(x)=f(x_0)+\sum \frac{f'(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)f(x)=f(x0)+∑k!f′(x0)(x−x0)k+o((x−x0)n)
f(x)=a0+a1(x−x0)+...+ak(x−x0)k+...+an(x−x0)n+o((x−x0)n)f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+...+a_k(x-x_0)^k+...+a_n(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)f(x)=a0+a1(x−x0)+...+ak(x−x0)k+...+an(x−x0)n+o((x−x0)n)
最后ooo是佩亚诺余项=fn+1(δ)(n+1)!(x−x0)n+1=\frac{f^{n+1}(\delta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}=(n+1)!fn+1(δ)(x−x0)n+1

1、若取x0=0x_0=0x0=0，则上述泰勒公式称为麦克劳林公式
2、泰勒公式具有唯一性：f(n)(x0)=an∗n!f^{(n)}(x_0)=a_n*n!f(n)(x0)=an∗n! 则利用这个可以求高阶导

Lesson 4

Hint1{Hint}^1Hint1：函数单调增加：f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0，除了最多有限个点(f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0或f′(x)不∃f'(x)不\existf′(x)不∃)

注意：
只有驻点和不可导点才能成为单调区间的分界点

Hint2{Hint}^2Hint2:

恒有f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}f(2x1+x2)>2f(x1)+f(x2)，则是凸的
f(x0)+f′(x0)(x−x0)>f(x)f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)>f(x)f(x0)+f′(x0)(x−x0)>f(x)凸的
f′′(x)<0f''(x)<0f′′(x)<0 凸的

Hint3{Hint}^3Hint3:

拐点(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0,f(x0))是连续函数凹凸分界点。
若是拐点，则f′′(x0)=0f''(x_0)=0f′′(x0)=0或者不存在。

判断方法一：

f’’(x)在两侧变号，则是拐点
f’’(x)不变号，则不是

判断方法二：

f′′′(x0)≠0f'''(x_0)≠0f′′′(x0)=0则是。
如果f′′(x0)=0f''(x_0)=0f′′(x0)=0，则不确定。

Hint3{Hint}^3Hint3:

不过太神了，还可以求导或者拉格朗日中值定理(容易证)。

Lesson 5

Hint1{Hint}^1Hint1:

1、极值点 =>f′(x0)=0=>f'(x_0)=0=>f′(x0)=0或不存在
2、二阶导不为000，则x0x_0x0是极值点，>0>0>0是极小值点。[]
3、极值点了两侧导数变号

Hint2{Hint}^2Hint2:

函数和各式导数联系在一起，则可以想到泰勒公式

Hint3{Hint}^3Hint3:

绝对值函数的分界点不可导
连续函数时，若极值点唯一，则其必然是最值(简单思考：易证)

Lesson 6

Hint1{Hint}^1Hint1:

1、铅直渐近线：

2、水平渐近线：

3、斜渐近线：

222和333在同一侧不共存。

Hint2{Hint}^2Hint2:

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Chapter 3

Lesson 1

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Hint3{Hint}^3Hint3：

Hint4{Hint}^4Hint4：柯西中值定理

Lesson 2

Hint1{Hint}^1Hint1：

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Lesson 3

Hint1{Hint}^1Hint1：

Lesson 4

Hint1{Hint}^1Hint1：函数单调增加：f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0，除了最多有限个点(f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0或f′(x)不∃f'(x)不\existf′(x)不∃)

Hint2{Hint}^2Hint2:

Hint3{Hint}^3Hint3:

Hint3{Hint}^3Hint3:

Lesson 5

Hint1{Hint}^1Hint1:

Hint2{Hint}^2Hint2:

Hint3{Hint}^3Hint3:

Hint3{Hint}^3Hint3:

Lesson 6

Hint1{Hint}^1Hint1:

Hint2{Hint}^2Hint2:

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