后缀是什么
然而如果单从字符串构造来讲任何S[i…len[S]]⊂S(1⩽i⩽len[S])S[i…len[S]]⊂S(1⩽i⩽len[S])S[i\dots len[S]]\subset S(1\leqslant i\leqslant len[S])均为字符串SSS的后缀。

后缀树

§" role="presentation" style="position: relative;">§§\S1 从Trie到后缀树的变化

在WikiEn上后缀树的定义如下Suffix Tree.

In computer science, a suffix tree (also called PAT tree or, in an earlier form, position tree) is a compressed trie containing all the suffixes of the given text as their keys and positions in the text as their values.

对串SSS的所有后缀进行Trie" role="presentation" style="position: relative;">TrieTrie\text{Trie}树构造，例如”bananas”,就会得到下面的Suffix TrieSuffix Trie\text{Suffix Trie}.

对Suffix TrieSuffix Trie\text{Suffix Trie}压缩就得到了Suffix Compressed TrieSuffix Compressed Trie\text{Suffix Compressed Trie}.

这正是我们所定义的后缀树(Suffix TreeSuffix Tree\text{Suffix Tree}).
关于TrieTrie\text{Trie}树的应用，最优秀的表现就是在该树上进行的”KMP算法”，即ac自动机，一句话概括应该就是多字符串统计问题。TrieTrie\text{Trie}树的思想虽然简单却实用，有了它我们就可以设计很多关于字符串的算法。
从TrieTrie\text{Trie}到后缀树，亦是利用TrieTrie\text{Trie}对多字符串统计的性质完成对单个字符串的全面掌握——后缀树对单个字符串的所有后缀(包括该字符串本身自然是一个特殊的后缀，空字符串ϵϵ\epsilon(这里以$$\$符号表示)也是一个特殊的后缀)。后缀树自然可以对所有的后缀进行暴力建树，但这就失去了对“该TrieTrie\text{Trie}上所有字符串都是同一个字符串的后缀”的信息的利用，利用上了这个信息后缀树才从TrieTrie\text{Trie}上脱胎换骨成为一种全新的数据结构。

§§\S2 后缀树构造法

作为字符串处理中具有重要地位的数据结构——后缀树，自然不会少有人参与其中的研究。UkkonenUkkonen\text{Ukkonen}提出了完全基于内存的后缀树的线性构造，而这是我们今天讲述后缀树构造方法的主角，因为我们还是只是初涉这种数据结构而已_(:3」∠)_其他的方法可以是基于外存的，也可以是并行的，具体可以查看参考资料的第三个链接。
现在开始介绍UkkonenUkkonen\text{Ukkonen}算法。

1.Ukkonen算法的特点

(1)时间复杂度O(len[S])O(len[S])\mathrm{O}(len[S]),空间复杂度O(len[S])O(len[S])\mathrm{O}(len[S]);
(2)在线算法，分步构造，即T0=∅T0=∅T_0=\varnothing，且Ti+1=A(Ti),ATi+1=A(Ti),AT_{i+1}=A(T_i),A是算法构造,TiTiT_i是在线构造下的隐式后缀树;
(3)隐式构造，即部分后缀会因为成为某些后缀的前缀而被隐藏起来(显式构造是通过增加一个新的字典字符，使所有后缀的包含性被破坏从而每一个后缀以叶节点结尾)。

2.Ukkonen算法的核心

设已有后缀树为TiTiT_i,ββ\beta是TiTiT_i下可表示后缀.
运行法则1(隐式构造)β结束于叶子节点v：运行法则1(隐式构造)β结束于叶子节点v：\text{运行法则1(隐式构造)}\beta结束于叶子节点v：
那么更新的时候只需要把vvv的连边由(id(v),Σ)" role="presentation" style="position: relative;">(id(v),Σ)(id(v),Σ)(id(v),\Sigma)更新为(id(v),S[i+1])(id(v),S[i+1])(id(v),S[i+1])
运行法则2(分裂规则)β结束非终点路径，且β结束的位置不存在S[i+1]：运行法则2(分裂规则)β结束非终点路径，且β结束的位置不存在S[i+1]：\text{运行法则2(分裂规则)}\beta结束非终点路径，且\beta结束的位置不存在S[i+1]：
那么更新的时候新建节点v(i)v(i)v(i)作为中继，并在其下面添加v(i+1)v(i+1)v(i+1)，给路径赋权S[i+1]S[i+1]S[i+1]。
运行法则3(懒惰规则)β结束非终点路径，且β结束的位置存在S[i+1]：运行法则3(懒惰规则)β结束非终点路径，且β结束的位置存在S[i+1]：\text{运行法则3(懒惰规则)}\beta结束非终点路径，且\beta结束的位置存在S[i+1]：
这时候我们什么都不做。

3.Ukkonen算法实现

我在这里并不打算做UkkonenUkkonen\text{Ukkonen}算法的解释，因为在后缀树一文中，其已经对后缀树构造做了图文并茂的阐述(虽然有人指出了这篇文章中有错误产生，推荐先看，然后倒回来看后缀树)！所以，读完他的博文以后，你可以再到回来看UkkonenUkkonen\text{Ukkonen}算法的具体实现(该算法来自于SPOJ LCS 最长公共子串后缀自动机&后缀树(Ukkonen),我凭自己的理解做了注释(不好掌握啊…好在我们会更进一步掌握后缀数组和后缀自动机，后缀树只是辅助理解))。

struct Node
{//new_nodestatic Node buf[],*bufp;void *operator new(size_t){return bufp++;}//suffixLink:后缀链接，ch:孩子指针Node *suffixLink,*ch[28];//l:左节点,r:右节点,len:边长int l,r,len;Node(){}Node(int _l,int _r,int _len){l=_l;r=_r;len=_len;memset(ch,0,sizeof(ch));}
}
//手写new
Node::buf[N<<2],*Node::bufp=buf,
*root,
//假的root后缀链接结点,活跃结点，剩余后缀数/活跃后缀长度
*rootSuffix,*active_node;int active_length=0;
char a[N*4];
//插入S[pos]=c
void insert(int pos,char c)
{Node *curNode,*last=nullptr,*next;int x=c-'a';for(;;){while(//有子结点(curNode=active_node->ch[a[pos-active_length]-'a'])&&//active_length长于当前边active_length>=curNode->r-curNode->l){//在新结点上进行操作active_length-=curNode->r-curNode->l;active_node=curNode;}//隐式构造if(active_node==rootSuffix||(curNode&&a[curNode->l+active_length]==c)){//如果存在本次insert新构造的结点则进行后缀链接if(last)last->suffixLink=active_node;//隐式插入后缀增长了++active_length;return ;}//分裂规则，因为由前面return短路的性质，这里隐含地包含了分裂规则所满足的情况if(active_length){//分裂出子结点next=new Node(curNode->l,curNode->l+active_length,active_node->len+active_length);curNode->l+=active_length;next->ch[a[curNode->l]-'a']=curNode;active_node->ch[a[next->l]-'a']=next;//懒惰规则，由if的判断，当前是无活跃后缀的}else next=active_node;next->ch[x]=new Node(pos,INTMAX,0);//如果存在本次insert新构造的节点则进行后缀链接if(last)last->suffixLink=next;last=next;//沿着后缀链接更新active_node=active_node->suffixLink;}
}

§§\S3后缀树的应用

先暂时列举，有时候可以回来把具体实现做了。
1.S串对T的模式匹配(一次匹配所有T的个数)；S串对T的模式匹配(一次匹配所有T的个数)；S串对T的模式匹配(一次匹配所有T的个数)；
2.求S串的最长重复子串；求S串的最长重复子串；求S串的最长重复子串；
3.两串S,T最长公共子串；两串S,T最长公共子串；两串S,T最长公共子串；
4.单串S最长回文子串。单串S最长回文子串。单串S最长回文子串。
参考：
[0]Suffix tree - Wikipedia
[1]从Trie树（字典树）谈到后缀树
[2]后缀树
[3]离散数据集的后缀树构造方法
[4]On-line construction of suffix tree,Ukkonen
[5]后缀树构造方法讲义
[6]Ukkonen后缀树算法的真·清晰解释
[7]SPOJ LCS 最长公共子串后缀自动机&后缀树(Ukkonen)
[8](论文主要内容翻译)后缀树的构造与实现–Ukkonen Algorithm

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