代价函数

确定问题的形式和规模之后，根据不同的问题，选择要优化的目标。如本文涉及的两个问题中，一个优化目标是使得航班选择最优，共计12个航班，要使得总的票价最少且每个人的等待时间之和最小。第二个问题是学生选择宿舍的问题，每个学生可以实现填报志愿，如果安排的宿舍与志愿完全一致，则代价为0，与第二志愿一致，代价为1，如果没有和志愿一致，代价为3。故，抽象问题的能力很重要，如何将自己要优化的目标量化的表达出来，是解决优化函数的关键。如在普通的数值优化问题中，可选择当前值与目标值距离的绝对之差，或者使用平方损失函数，均可。

值域

值域是确定搜索的范围。一个可行解的范围是多少，比如学生选宿舍的问题，一共学校有100间宿舍，编号为1-100，那么这个数值优化问题的每个可行解的范围均在100之内。不同的问题对应不同的可行解，也要具体问题具体分析。

随机搜索算法

随机搜索算法是最简单的优化搜索算法，它只适用于代价函数在值域范围内没有任何变化规律的情况。即找不到任何使得代价下降的梯度和极小值点。
我们只需要在值域范围内生成足够多的可行解，然后分别计算每个可行解的代价，根据代价选择一个最小的可行解作为随机搜索的最优解即可。

# 搜索方法1: 随机搜索算法
# 函数会作1000次随机猜测，记录总代价最低的方法. domain为航班号的范围（0-9），共有5个人，因此共有10项def randomoptimize(self, domain):best_sol = []bestcost = 99999for i in range(1000):sol = [0] * len(domain)for j in range(len(domain) / 2):  # 人数sol[2 * j] = random.randint(domain[2 * j][0], domain[2 * j][1])sol[2 * j + 1] = random.randint(domain[2 * j + 1][0], domain[2 * j + 1][1])print sol[:]newcost = self.schedulecost(sol)if newcost < bestcost:bestcost = newcostbest_sol = solelse:continueself.printschedule(best_sol)print "随机搜索算法的结果的最小代价是：", bestcostreturn best_sol

爬山法

爬山法假设当前解和周围的解是有变化规律的，如，当前解得下方有一个代价较小的解，则我们就认为，沿着这个方向走，解会越来越小。步骤为：首先选择一个解作为种子解，每次寻找与这个解相近的解，如果相近的解中有代价更小的解，则把这个解作为种子解。而如果周围的解都比该解的代价大，则表示已经到达了局部极小值点，搜索停止。

    # 搜索算法2：爬山法# 首先随机选择一个解作为种子解，每次寻找这个种子相近的解，如果相近的解有代价更小的解，则把这个新的解作为种子# 依次循环进行，当循环到某种子附近的解都比该种子的代价大时，说明到达了局部极小值点，搜索结束def hillclimb(self, domain):# 随机产生一个航班序列作为初始种子seed = [random.randint(domain[i][0], domain[i][1]) for i in range(len(domain))]while 1:neighbor = []# 循环改变解的每一个值产生一个临近解的列表for i in range(len(domain)):# 下列判断是为了将某一位加减1后不超出domain的范围# print seedif seed[i] > domain[i][0]:newneighbor = seed[0:i] + [seed[i] - 1] + seed[i + 1:]# print newneighbor[:]neighbor.append(newneighbor)if seed[i] < domain[i][1]:newneighbor = seed[0:i] + [seed[i] + 1] + seed[i + 1:]# print newneighbor[:]neighbor.append(newneighbor)# 对所有的临近解计算代价，排序，得到代价最小的解neighbor_cost = sorted([(s, self.schedulecost(s)) for s in neighbor], key=lambda x: x[1])# 如果新的最小代价 > 原种子代价，则跳出循环if neighbor_cost[0][1] > self.schedulecost(seed):break# 新的代价更小的临近解作为新的种子seed = neighbor_cost[0][0]print "newseed = ", seed[:], " 代价：", self.schedulecost(seed)# 输出self.printschedule(seed)print "爬山法得到的解的最小代价是", self.schedulecost(seed)return seed

模拟退火算法

从一个问题的原始解开始，用一个变量代表温度，这一温度开始时非常高，而后逐步减低。在每一次迭代期间，算法会随机选中题解中的某个数字，使其发生细微变化，而后计算该解的代价。关键的地方在于计算出该解的代价后，如果决定是否接受该解。
如果新的成本更低，则新的题解就会变成当前题解，这与爬山法类似；如果新的成本更高，则新的题解与概率 P 被接受。这一概率会随着温度T的降低而降低。即算法开始时，可以接受表现较差的解，随着退火过程中温度的不断下降，算法越来越不可以接受较差的解，知道最后，它只会接受更优的解。 **
其中P = exp[-（newcost - oldcost）/ T ]
其中newcost是新解的成本，oldcost是当前成本，T为当前温度。算法以概率P接受新的解。**

    # 搜索算法4：模拟退火算法# 参数：T代表原始温度，cool代表冷却率，step代表每次选择临近解的变化范围# 原理：退火算法以一个问题的随机解开始，用一个变量表示温度，这一温度开始时非常高，而后逐步降低#      在每一次迭代期间，算啊会随机选中题解中的某个数字，然后朝某个方向变化。如果新的成本值更#      低，则新的题解将会变成当前题解，这与爬山法类似。不过，如果成本值更高的话，则新的题解仍#      有可能成为当前题解，这是避免局部极小值问题的一种尝试。# 注意：算法总会接受一个更优的解，而且在退火的开始阶段会接受较差的解，随着退火的不断进行，算法#      原来越不能接受较差的解，直到最后，它只能接受更优的解。# 算法接受较差解的概率 P = exp[-(highcost-lowcost)/temperature]def annealingoptimize(self, domain, T=10000.0, cool=0.98, step=1):# 随机初始化值vec = [random.randint(domain[i][0], domain[i][1]) for i in range(len(domain))]# 循环while T > 0.1:# 选择一个索引值i = random.randint(0, len(domain) - 1)# 选择一个改变索引值的方向c = random.randint(-step, step)  # -1 or 0 or 1# 构造新的解vecb = vec[:]vecb[i] += cif vecb[i] < domain[i][0]:  # 判断越界情况vecb[i] = domain[i][0]if vecb[i] > domain[i][1]:vecb[i] = domain[i][1]# 计算当前成本和新的成本cost1 = self.schedulecost(vec)cost2 = self.schedulecost(vecb)# 判断新的解是否优于原始解 或者 算法将以一定概率接受较差的解if cost2 < cost1 or random.random() < math.exp(-(cost2 - cost1) / T):vec = vecbT = T * cool  # 温度冷却print vecb[:], "代价:", self.schedulecost(vecb)self.printschedule(vec)print "模拟退火算法得到的最小代价是：", self.schedulecost(vec)return vec

遗传算法

随机生成一组解，成为一个种群

直接遗传
将当前种群中代价最小的一部分解，如 40% 进行直接遗传，传入下一代种群。
变异
从题解中随机选取一个数字，对其进行微小的，简单的改变。
交叉
选取最优解中的两个解，将他们按照某种方式进行结合

通过上述三种方法，从上一代种群中构建出了下一代种群。而后，这一过程重复进行，知道达到了指定的迭代次数，或者连续数代都没有改善种群，则整个过程就结束了。

# 搜索算法5： 遗传算法
# 原理： 首先随机生成一组解，我们称之为种群，在优化过程的每一步，算法会计算整个种群的成本函数，
#       从而得到一个有关题解的有序列表。随后根据种群构造进化的下一代种群，方法如下：
#       遗传：从当前种群中选出代价最优的一部分加入下一代种群，称为“精英选拔”
#       变异：对一个既有解进行微小的、简单的、随机的修改
#       交叉：选取最优解中的两个解，按照某种方式进行交叉。方法有单点交叉，多点交叉和均匀交叉
# 一个种群是通过对最优解进行随机的变异和配对处理构造出来的，它的大小通常与旧的种群相同，尔后，这一过程会
#       一直重复进行————新的种群经过排序，又一个种群被构造出来，如果达到指定的迭代次数之后题解都没有得
#       改善，整个过程就结束了
# 参数：
# popsize-种群数量 step-变异改变的大小 mutprob-交叉和变异的比例 elite-直接遗传的比例 maxiter-最大迭代次数
def geneticoptimize(self, domain, popsize=50, step=1, mutprob=0.2, elite=0.2, maxiter=100):# 变异操作的函数def mutate(vec):i = random.randint(0, len(domain) - 1)if random.random() < 0.5 and vec[i] > domain[i][0]:return vec[0:i] + [vec[i] - step] + vec[i + 1:]elif vec[i] < domain[i][1]:return vec[0:i] + [vec[i] + step] + vec[i + 1:]# 交叉操作的函数（单点交叉）def crossover(r1, r2):i = random.randint(0, len(domain) - 1)return r1[0:i] + r2[i:]# 构造初始种群pop = []for i in range(popsize):vec = [random.randint(domain[i][0], domain[i][1]) for i in range(len(domain))]pop.append(vec)# 每一代中有多少胜出者topelite = int(elite * popsize)# 主循环for i in range(maxiter):scores = [(self.schedulecost(v), v) for v in pop]scores.sort()ranked = [v for (s, v) in scores]  # 解按照代价由小到大的排序# 优质解遗传到下一代pop = ranked[0: topelite]# 如果当前种群数量小于既定数量，则添加变异和交叉遗传while len(pop) < popsize:# 随机数小于 mutprob 则变异，否则交叉if random.random() < mutprob:  # mutprob控制交叉和变异的比例# 选择一个个体c = random.randint(0, topelite)# 变异pop.append(mutate(ranked[c]))else:# 随机选择两个个体进行交叉c1 = random.randint(0, topelite)c2 = random.randint(0, topelite)pop.append(crossover(ranked[c1], ranked[c2]))# 输出当前种群中代价最小的解print scores[0][1], "代价：", scores[0][0]self.printschedule(scores[0][1])print "遗传算法求得的最小代价：", scores[0][0]return scores[0][1]

书中给出了关于学生宿舍选择的一个具体例子，以下是代码

# -*-  coding: utf-8 -*-
__author__ = 'Bai Chenjia'import random
import math
"""
宿舍分配问题，属于搜索优化问题。优化方法使用optimization.py中使用的
随机搜索、爬山法、模拟退火法、遗传算法等. 但题解的描述比之前的问题复杂
"""class dorm:def __init__(self):# 代表宿舍，每个宿舍有两个隔间可用self.dorms = ['Zeus', 'Athena', 'Hercules', 'Bacchus', 'Pluto']# 代表选择，第一列代表人名，第二列和第三列代表该学生的首选和次选self.prefs = [('Toby', ('Bacchus', 'Hercules')),('Steve', ('Zeus', 'Pluto')),('Karen', ('Athena', 'Zeus')),('Sarah', ('Zeus', 'Pluto')),('Dave', ('Athena', 'Bacchus')),('Jeff', ('Hercules', 'Pluto')),('Fred', ('Pluto', 'Athena')),('Suzie', ('Bacchus', 'Hercules')),('Laura', ('Bacchus', 'Hercules')),('James', ('Hercules', 'Athena'))]# 题解的表示法：# 设想每个宿舍有两个槽，本例中共有5个宿舍，则共有10个槽，我们将每名学生依序安置于各空槽# 内————则第一名学生有10种选择，解的取值范围为0-9；第二名学生有9种选择，解的取值范围为# 0-8，第三名学生解的取值范围是0-7，以此类推，最后一名学生只有一个可选。# 按照上述题解的表示法初始化题解范围：self.domain = [(0, 2*len(self.dorms)-1-i) for i in range(len(self.prefs))]# 根据题解序列vec打印出最终宿舍分配方案# 注意，输出一个槽后表明该槽已经用过，需将该槽删除def printsolution(self, vec):slots = []# slots = [0,0,1,1,2,2,3,3,4,4]for i in range(len(self.dorms)):slots.append(i)slots.append(i)# 循环题解print "选择方案是："for i in range(len(vec)):index = slots[vec[i]]print self.prefs[i][0], self.dorms[index]del slots[vec[i]]# 代价函数: 如果学生当前安置的宿舍使其首选则代价为0，是其次选则代价为1，否则代价为3# 注意，输出一个槽后表明该槽已经用过，需将该槽删除def dormcost(self, vec):cost = 0# 建立槽slots = []for i in range(len(self.dorms)):slots.append(i)slots.append(i)# 循环题解for i in range(len(vec)):index = slots[vec[i]]if self.dorms[index] == self.prefs[i][1][0]:cost += 0elif self.dorms[index] == self.prefs[i][1][1]:cost += 1else:cost += 3del slots[vec[i]]return cost"""下列函数与 optimization 中函数相同，只不过代价函数和输出函数用本问题的输出函数"""# 搜索方法1: 随机搜索算法# 函数会作1000次随机猜测，记录总代价最低的方法. domain为航班号的范围（0-9），共有5个人，因此共有10项def randomoptimize(self, domain):best_sol = []bestcost = 99999for i in range(1000):sol = [0] * len(domain)for j in range(len(domain) / 2):  # 人数sol[2 * j] = random.randint(domain[2 * j][0], domain[2 * j][1])sol[2 * j + 1] = random.randint(domain[2 * j + 1][0], domain[2 * j + 1][1])print sol[:]newcost = self.dormcost(sol)if newcost < bestcost:bestcost = newcostbest_sol = solelse:continueself.printsolution(best_sol)print "随机搜索算法的结果的最小代价是：", bestcostreturn best_sol# 搜索算法2：爬山法# 首先随机选择一个解作为种子解，每次寻找这个种子相近的解，如果相近的解有代价更小的解，则把这个新的解作为种子# 依次循环进行，当循环到某种子附近的解都比该种子的代价大时，说明到达了局部极小值点，搜索结束def hillclimb(self, domain):# 随机产生一个航班序列作为初始种子seed = [random.randint(domain[i][0], domain[i][1]) for i in range(len(domain))]while 1:neighbor = []# 循环改变解的每一个值产生一个临近解的列表for i in range(len(domain)):# 下列判断是为了将某一位加减1后不超出domain的范围# print seedif seed[i] > domain[i][0]:newneighbor = seed[0:i] + [seed[i] - 1] + seed[i + 1:]# print newneighbor[:]neighbor.append(newneighbor)if seed[i] < domain[i][1]:newneighbor = seed[0:i] + [seed[i] + 1] + seed[i + 1:]# print newneighbor[:]neighbor.append(newneighbor)# 对所有的临近解计算代价，排序，得到代价最小的解neighbor_cost = sorted([(s, self.dormcost(s)) for s in neighbor], key=lambda x: x[1])# 如果新的最小代价 > 原种子代价，则跳出循环if neighbor_cost[0][1] > self.dormcost(seed):break# 新的代价更小的临近解作为新的种子seed = neighbor_cost[0][0]print "newseed = ", seed[:], " 代价：", self.dormcost(seed)# 输出self.printsolution(seed)print "爬山法得到的解的最小代价是", self.dormcost(seed)return seed# 搜索算法4：模拟退火算法# 参数：T代表原始温度，cool代表冷却率，step代表每次选择临近解的变化范围# 原理：退火算法以一个问题的随机解开始，用一个变量表示温度，这一温度开始时非常高，而后逐步降低#      在每一次迭代期间，算啊会随机选中题解中的某个数字，然后朝某个方向变化。如果新的成本值更#      低，则新的题解将会变成当前题解，这与爬山法类似。不过，如果成本值更高的话，则新的题解仍#      有可能成为当前题解，这是避免局部极小值问题的一种尝试。# 注意：算法总会接受一个更优的解，而且在退火的开始阶段会接受较差的解，随着退火的不断进行，算法#      原来越不能接受较差的解，直到最后，它只能接受更优的解。# 算法接受较差解的概率 P = exp[-(highcost-lowcost)/temperature]def annealingoptimize(self, domain, T=10000.0, cool=0.98, step=1):# 随机初始化值vec = [random.randint(domain[i][0], domain[i][1]) for i in range(len(domain))]# 循环while T > 0.1:# 选择一个索引值i = random.randint(0, len(domain) - 1)# 选择一个改变索引值的方向c = random.randint(-step, step)  # -1 or 0 or 1# 构造新的解vecb = vec[:]vecb[i] += cif vecb[i] < domain[i][0]:  # 判断越界情况vecb[i] = domain[i][0]if vecb[i] > domain[i][1]:vecb[i] = domain[i][1]# 计算当前成本和新的成本cost1 = self.dormcost(vec)cost2 = self.dormcost(vecb)# 判断新的解是否优于原始解 或者 算法将以一定概率接受较差的解if cost2 < cost1 or random.random() < math.exp(-(cost2 - cost1) / T):vec = vecbT = T * cool  # 温度冷却print vecb[:], "代价:", self.dormcost(vecb)self.printsolution(vec)print "模拟退火算法得到的最小代价是：", self.dormcost(vec)return vec# 搜索算法5： 遗传算法# 原理： 首先随机生成一组解，我们称之为种群，在优化过程的每一步，算法会计算整个种群的成本函数，#       从而得到一个有关题解的有序列表。随后根据种群构造进化的下一代种群，方法如下：#       遗传：从当前种群中选出代价最优的一部分加入下一代种群，称为“精英选拔”#       变异：对一个既有解进行微小的、简单的、随机的修改#       交叉：选取最优解中的两个解，按照某种方式进行交叉。方法有单点交叉，多点交叉和均匀交叉# 一个种群是通过对最优解进行随机的变异和配对处理构造出来的，它的大小通常与旧的种群相同，尔后，这一过程会#       一直重复进行————新的种群经过排序，又一个种群被构造出来，如果达到指定的迭代次数之后题解都没有得#       改善，整个过程就结束了# 参数：# popsize-种群数量 step-变异改变的大小 mutprob-交叉和变异的比例 elite-直接遗传的比例 maxiter-最大迭代次数def geneticoptimize(self, domain, popsize=50, step=1, mutprob=0.2, elite=0.2, maxiter=100):# 变异操作的函数def mutate(vec):i = random.randint(0, len(domain) - 1)res = []if random.random() < 0.5 and vec[i] > domain[i][0]:res = vec[0:i] + [vec[i] - step] + vec[i + 1:]elif vec[i] < domain[i][1]:res = vec[0:i] + [vec[i] + step] + vec[i + 1:]else:res = vecreturn res# 交叉操作的函数（单点交叉）def crossover(r1, r2):i = random.randint(0, len(domain) - 1)return r1[0:i] + r2[i:]# 构造初始种群pop = []for i in range(popsize):vec = [random.randint(domain[i][0], domain[i][1]) for i in range(len(domain))]pop.append(vec)# 每一代中有多少胜出者topelite = int(elite * popsize)# 主循环for i in range(maxiter):if [] in pop:print "***"try:scores = [(self.dormcost(v), v) for v in pop]except:print "pop!!", pop[:]scores.sort()ranked = [v for (s, v) in scores]  # 解按照代价由小到大的排序# 优质解遗传到下一代pop = ranked[0: topelite]# 如果当前种群数量小于既定数量，则添加变异和交叉遗传while len(pop) < popsize:# 随机数小于 mutprob 则变异，否则交叉if random.random() < mutprob:  # mutprob控制交叉和变异的比例# 选择一个个体c = random.randint(0, topelite)# 变异if len(ranked[c]) == len(self.prefs):temp = mutate(ranked[c])if temp == []:print "******", ranked[c]else:pop.append(temp)else:# 随机选择两个个体进行交叉c1 = random.randint(0, topelite)c2 = random.randint(0, topelite)pop.append(crossover(ranked[c1], ranked[c2]))# 输出当前种群中代价最小的解print scores[0][1], "代价：", scores[0][0]self.printsolution(scores[0][1])print "遗传算法求得的最小代价：", scores[0][0]return scores[0][1]if __name__ == '__main__':dormsol = dorm()#sol = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]#dormsol.printsolution(sol)#dormsol.dormcost(sol)domain = dormsol.domain# 方法1：随机猜测#dormsol.randomoptimize(domain)# 方法2：爬山法#dormsol.hillclimb(domain)# 方法3：模拟退火法#dormsol.annealingoptimize(domain)# 方法4：遗传算法dormsol.geneticoptimize(domain)

三种算法分析

这三种都是用来求解函数“最大值”问题的算法，我们可以把函数曲线理解成一个一个山峰和山谷组成的山脉（如图片所示）。那么我们可以设想所得到的每一个解就是一只青蛙，我们希望它们不断的向着更高处跳去，直到跳到最高的山峰（尽管青蛙本身不见得愿意那么做）。所以求最大值的过程就转化成一个“青蛙跳”的过程。

下面介绍介绍“青蛙跳”的几种方式。

爬山算法（最速上升爬山法）：

从搜索空间中随机产生邻近的点，从中选择对应解最优的个体，替换原来的个体，不断重复上述过程。因为只对“邻近”的点作比较，所以目光比较“短浅”，常常只能收敛到离开初始位置比较近的局部最优解上面。对于存在很多局部最优点的问题，通过一个简单的迭代找出全局最优解的机会非常渺茫。（在爬山法中，青蛙最有希望到达最靠近它出发点的山顶，但不能保证该山顶是珠穆朗玛峰，或者是一个非常高的山峰。因为一路上它只顾上坡，没有下坡。）

模拟退火算法：

这个方法来自金属热加工过程的启发。在金属热加工过程中，当金属的温度超过它的熔点（Melting Point）时，原子就会激烈地随机运动。与所有的其它的物理系统相类似，原子的这种运动趋向于寻找其能量的极小状态。在这个能量的变迁过程中，开始时。温度非常高，使得原子具有很高的能量。随着温度不断降低，金属逐渐冷却，金属中的原子的能量就越来越小，最后达到所有可能的最低点。利用模拟退火算法的时候，让算法从较大的跳跃开始，使到它有足够的“能量”逃离可能“路过”的局部最优解而不至于限制在其中，当它停在全局最优解附近的时候，逐渐的减小跳跃量，以便使其“落脚”到全局最优解上。（在模拟退火中，青蛙喝醉了，而且随机地大跳跃了很长时间。运气好的话，它从一个山峰跳过山谷，到了另外一个更高的山峰上。但最后，它渐渐清醒了并朝着它所在的峰顶跳去。）

遗传算法：

模拟物竞天择的生物进化过程，通过维护一个潜在解的群体执行了多方向的搜索，并支持这些方向上的信息构成和交换。以面为单位的搜索，比以点为单位的搜索，更能发现全局最优解。（在遗传算法中，有很多青蛙，它们降落到喜玛拉雅山脉的任意地方。这些青蛙并不知道它们的任务是寻找珠穆朗玛峰。但每过几年，就在一些海拔高度较低的地方射杀一些青蛙，并希望存活下来的青蛙是多产的，在它们所处的地方生儿育女。）可以描述成这样的一个故事：从前，有一大群青蛙，它们被莫名其妙的零散地遗弃于喜马拉雅山脉。于是只好在那里艰苦的生活。海拔低的地方弥漫着一种无色无味的毒气，海拔越高毒气越稀薄。可是可怜的青蛙们对此全然不觉，还是习惯于活蹦乱跳。于是，不断有青蛙死于海拔较低的地方，而越是在海拔高的青蛙越是能活得更久，也越有机会生儿育女。就这样经过许多年，这些青蛙们竟然都不自觉地聚拢到了一个个的山峰上，可是在所有的青蛙中，只有聚拢到珠穆朗玛峰的青蛙被带回了美丽的澳洲。）

作者：卡尔是正太
链接：https://www.jianshu.com/p/46d845442afb
来源：简书
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