《机器人动力学与控制》第九章——动力学 9.4 欧拉-拉格朗日方程法应用举例（下）
具有远程制动关节的平面肘部机械手
现在我们考虑一个generalized coordinate不在关节变量上的的情况，继续来看平面肘部机械手，但是现在的机械手两个电机都在基座上。第一个关节由电机直接控制，第二个电机通过一个传动系统（齿轮或者传送带）来控制。如下图
在这样的情况下我们建立如下的坐标系
已知P2只受motor 2控制，且不受p1的影响。我们将推导这个结构的动力学方程，并且展示一些可以做简化的过程。
由于p1和p2的定义并不是我们之前讨论的情况，这里我们不能用速度雅各比来计算各个连杆的动能，所以用直接分析法。
因此动能可以表达为
接着计算Christoffel项
接着计算势能
因此重力项为
最后得到动力学方程为
将这里推到的动力学公式与上一个例子的动力学公式比较，发现这个解耦的机械结构成功消除了Coriolis forces项。
五连杆机构
现在我们研究下图所示的结构，我们将会展示，如果机械臂的系数满足某些简单的关系的话，那么机械臂的动力学方程可以解耦，进而可以独立控制q1和q2。
上图是一个五连杆机械结构。图中只有四个连杆，为了方便研究我们把地面那根也当成连杆的一部分。上述结构连杆1和连杆3长度一样，同时l4=l2，这样来看图中的机构是一个平行结构，这个特点能大大简化我们的计算。注意，lc1与lc3不一定相等。比如连杆1和连杆3可能长度相等，但是他们的质量分布可能不一样。
可以发现尽管四个连杆都可以运动，但实际上我们只有两个驱动关节q1和q2。因此与本书之前讨论的结构不一样，该结构是闭环结构（尽管是非常简单的一种）。结果就是，我们不能使用之前研究的雅各比矩阵，而是需要从草稿开始分析他的速度关系。首先我们写下四个连杆重心的位置：
接着在这些坐标的帮助下我们可以写下重心速度关于两个关节速度的表达式，为了简略我们省略了最后的0项
接下来的速度关系很容易发现
因此惯性矩阵为
接着
我们注意到
因此惯性矩阵是常量对角矩阵，因此直接的结果就是动力学方程里面不包括Coriolis 项和centrifugal 项.
现在我们来看势能
因此
我们注意到Φ1仅仅取决于q1，类似的Φ2仅仅取决于q2。因此，如果9.105也能满足，那么这个看似复杂的系统的动力学关系可以由下面简单的方程描述
上述的讨论解释了为什么如今平行结构的机器人变得越来越流行。如果关系9.105能满足的话，那么我们就能独立的调整q1和q2，不用考虑他们之间的相互作用。请仔细体会这两个例子
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