时域认识采样定理的一个小例子

采样定理：为了不失真地恢复模拟信号，采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。即 $f_{s}\geq 2f_{m}$
说到采样定理，它的重要性在信号处理领域不言而喻，是连接连续与离散信号的桥梁，因为我们的处理都是通过计算机进行运算的，而计算机是不能够处理连续的信号（算一下都是得花时间的嘛），所以我们必须对信号进行采样，让样本点的信号尽可能得能够代表原信号，理想状态下，我们可以完全通过样本点的值恢复出原信号。
就拿下面这张图中的虚线表示的信号来说，我们在0、0.005、0.01s时刻对它进行采样，得到了三个样本点，根据这三个样本点，我们能否不失真得复现出这个信号呢？答案好像是不行的，因为三条实线表示的信号在三个样本点处和虚线信号的值是一样的！所以我们无法确定出原信号到底是哪一个信号。

对于采样定理的理解，一般而言，都是从频域的角度进行的。对于一个信号，我们可以画出它的频谱，冲击串函数的频谱仍然是冲击串，时域卷积等于频域乘积，因此，在频域上相当于对原信号的频谱进行搬移，只要搬移过程中不发生重叠，我们就可以一个理想滤波器无失真得到它原频谱，从而无失真得恢复出原信号。

下面，举一个简单的例子，从时域上简单理解一下采样定理。

假设我们现在来观察一个带指针的圆盘的旋转，这个指针是以1s为周期顺时针进行旋转，现在，我们对它进行抽样，即隔一段时间看它一眼并记录下它的位置，分四种情况：
1：抽样间隔为1/3s，那么我们的样本点的时刻为0、1/3、2/3……但是我们只能看到三幅不同的图片，根据我们所看到的，计算出我们认为的它的旋转周期为1s，恰好是它原来的旋转周期，并且我们正确地判断出它旋转的方向为顺时针
2：抽样间隔为1/2s，那么我们的样本点的时刻为0、1/2、1……这次我们只能看到两幅不同的图了，以此我们计算所得周期为1s，等于原周期，但我们这时无法判断它的旋转方向是顺时针还是逆时针了
3：抽样间隔为2/3s，那么我们的样本点的时刻为0、2/3、4/3……同样的我们看到了三幅不同的图片，计算出我们认为的它的旋转周期为2s，不等于它原来的旋转周期！并且我们会错误地判断出它旋转的方向为逆时针！
4：抽样间隔为1s，那么我们的样本点的时刻为0、1、2……这次我们只能看到一幅静止的图片，我们会认为指针根本就没动，所以它的周期为 $\infty$ (图片中此处错误)
从上述的四种频率的抽样结果来看，只有第一种情况是最好的，其它几种情况都对这个信号做出了错误或者不完全正确的判断(因此采样定理不应该取等号)，换做其他频率的抽样我们可以再试一试，发现只有当抽样的时间间隔小于原信号周期的一半时，我们可以对这是一个怎样的信号做出正确的判断！

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