最长公共子序列(LCS)

一、概念

1.给定字符串str = "ABCDADNENXY"

子序列：从str中任意去掉若干个(含0个)字符，剩下的就是这个str的子序列，如ABC, ABXY, DADXY等，中间不必连续.

子串：和子序列不同，子串必须是连续的，如ABCD，ENXY，CDADNE都是子串，而AXY不是，因为中间断开了，把连续.

子串必定是子序列，子序列不一定是子串.

2.最长公共子序列(Longest Common Sequence)

给出字符串str1和str2，如果一个字符串s同是str1和str2的子序列，则称s为二者的公共子序列，如果s最长，则称s为最长公共子序列，即LCS.

如str1 = "ABCBDCA", str2 = "DABDA", 二者的一个公共子序列为AA，而最长公共子序列为ABDA.

再如，str1 = "BACDABC", str2 = "AXBDC", 二者的LCS不止一个，如BDC, ABC, ADC都是LCS，因此需要明确：LCS有时候不唯一.

二、LCS的长度

LCS问题可以分解为，求LCS长度，再求LCS具体是哪个字符串，求LCS长度看起来相对容易一点.

问题描述： A和B分别为长度为x和y的两个字符串，设A = a1, a2, ..., ax, B = b1, b2, ..., by，要求A和B的LCS.

思路：观察A和B的最后一个字符，如果相等则该字符一定属于LCS的一部分，否则：该字符有可能属于LCS的一部分.据此构造动态规划的状态转移方程.

具体解法：如果已经给定A和B，我们可以用LCS(x, y)表示A和B的LCS长度，下面我们求递归关系式.

2.如果A和B尾部字符相同

3.如果不相同

4.递推公式的边界

5.完整的递推公式

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最终要求的为LCS(x,y)的值，在已经明确递推关系式的情况下，可以采用递归或"循环打表"的方式用代码求出LCS(x,y)的值.

代码分别如下：

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;//递归的方法
//注意 A和B分别为输入的字符串前面加上一个' '空的字符，是为了解决边界问题.
int LCS(string A, string B, int x, int y)
{if(x==0 || y==0)   //边界 return 0;else              //非边界位置 {if(A[x] == B[y]) //最后一个字符相同 return LCS(A, B, x-1, y-1) + 1;elsereturn max(LCS(A, B, x, y-1), LCS(A, B, x-1, y));}
}int main()
{string A = "BCBACABBACDX";string B = "BCXYDADJL";        // A 和 B的LCS为BCAD int x = A.length();int y = B.length();A = ' ' + A;B = ' ' + B;int result = LCS(A, B, x, y);cout << result << endl;return 0;
}

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;//循环打表 的方式求LCS[x][y]
int main()
{   string A = "BCBACABBACDX";string B = "BCXYDADJL";     // A 和 B的LCS为BCAD int x = A.length();int y = B.length();A = ' ' + A;B = ' ' + B;int i, j;int ** LCS = new int*[x+1];for(i=0;i<=x;i++){LCS[i] = new int[y+1];for (j=0;j<=y;j++)LCS[i][j] = 0;   //LCS[i][j]用来存储 }for(i=0;i<=x;i++)for(j=0;j<=y;j++)if(i==0 || j==0)LCS[i][j] = 0;else{if(A[i] == B[j])LCS[i][j] = LCS[i-1][j-1] + 1; elseLCS[i][j] = max(LCS[i-1][j], LCS[i][j-1]);}int result = LCS[x][y];cout << result << endl;return 0;
}

三、如何求出具体的LCS

LCS长度问题已经通过递推关系式求解出来了，现在来思考如何求出具体的序列有哪些字符组成. 由于LCS的非唯一，为了简化问题，我们先求出其中一个，如果有多个LCS不要求都求出来，求出一个即可.

对于两个字符串 A = "ABCBDAB" 和 B = "BDCABA"，由上面的代码已经求出LCS长度为4，可以看出来LCS可以是BDAB或BCAB或BCBA等，我们的目标是求出其中任意一个.

我们回忆求LCS长度的过程，是打表求出LCS[i][j](0<=i<=x, 0<=j<=y)这个二维数组. 下面手动计算这个过程.

1.二维数组或称为表格LCS[x][y]初始化

2.逐行按照递推关系式运算，结果依次如下：

......

3.最终的表格状态为：

表格右下角的值为LCS[x][y] = 4，我们需要考虑的是4是怎么计算出来的，反推数字4的来历，记录这个路径，就可以找规律求出其中一个LCS了.

例如，最右下角的4，由于B!=A，因此是取左边4和上面4的最大值，两个4一样大，这个也从侧门反映了这个球LCS的问题的LCS不唯一.

那么我们的代码是怎么计算的呢，看一下代码

if(A[i] == B[j])LCS[i][j] = LCS[i-1][j-1] + 1;
elseLCS[i][j] = max(LCS[i-1][j], LCS[i][j-1]);

对于(i, j)位置，

如果A[i]==B[j]，那么左上方向的数据+1，填到(i, j)位置

否则左边和上边两个方向的最大值，填到(i, j)位置

对于(i, j) = (7, 6)，即最右下角，A[7]!=B[6]，所以看LCS[6][6]和LCS[7][5]，这两个值都是4，怎么办？我们的代码是取

max(LCS[i-1][j], LCS[i][j-1])

那我们怎么记录(7, 6)位置的4是从左边还是从上面来的呢，随便取一个就可以。比如，在遇到max里面两个都相等的时候，取上面的那个，

那么这个4的得到的过程如下图所示：

反推得到的路径为结束，如果我们遍历一下这个路径(i,j)，打印出满足A[i]=B[j]的字符，得到的是：BCBA,这刚好是要求的LCS之一，求出一个即可.

所以，在“循环打表”的代码基础上记录路径就可以得到诸多LCS其中的一个了.

代码如下：

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;//循环打表 的方式求LCS[x][y]
int main()
{
//  string A = "ABCBDAB";
//  string B = "BDCABA";string A = "ABCBDABXBXZWUNBV";string B = "BDCABAXWBVQUADABA";int x = A.length();int y = B.length();A = ' ' + A;B = ' ' + B;int i, j;int ** LCS = new int*[x+1];int ** dir = new int*[x+1];//dir用于记录方向 ,规定该数组元素取值只有0 1 2三种，分别表示左上，左，上 //dir[i][j]表示LCS[i][j]是从哪个方向得到的 for(i=0;i<=x;i++){LCS[i] = new int[y+1];dir[i] = new int[y+1];for (j=0;j<=y;j++)LCS[i][j] = 0;  //}for(i=0;i<=x;i++)for(j=0;j<=y;j++)if(i==0 || j==0)LCS[i][j] = 0;else{if(A[i] == B[j]){LCS[i][j] = LCS[i-1][j-1] + 1; dir[i][j] = 0;  //左上 }else{LCS[i][j] = max(LCS[i-1][j], LCS[i][j-1]);if(LCS[i-1][j]>=LCS[i][j-1])//如果>=改为>，得到的LCS不一样 dir[i][j] = 1; //i变化  上 elsedir[i][j] = 2;    //j变化  左 } }int result = LCS[x][y];cout << result << endl;//根据dir求出路径，即一系列(i,j), 同时判断 A[i]==B[j]i = x, j = y;string lcs = "";while(!(i==0 || j==0)){cout << i << " " << j << endl;if(A[i]==B[j]){lcs = A[i] + lcs;cout << A[i] << endl; } if(dir[i][j]==0)i--, j--;else if(dir[i][j]==1)i--;elsej--;}cout << lcs << endl;return 0;
}

这样可以求出一个LCS，至于如何求出所有的LCS问题，后续再讨论.