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0. 内容

1. 什么是群

为什么要引入群？

因为求旋转矩阵或者变换矩阵的导数时，加法不再成立，所以求矩阵的导数需要引入其他的方法，于是就引入了群。

“群，环，域”都是是抽象代数中的东西

因为加法在整数上面呈交换群，所以2+3=3+2=5
例如：在加法上的运算，幺元为0，a+(-a)=0
在乘法上，幺元为1，a∗1a=1a* \dfrac{1}{a}=1a∗a1=1

旋转矩阵可逆，是正交的矩阵，与矩阵乘法构成群。
如果不成群的话，基本上就没什么必要去讨论了。
一般的n×nn\times nn×n的可逆矩阵就是一般线性群GL(n)

基础知识补充：《抽象代数》，《微分几何》

2. 李群与李代数

具有连续（光滑）性质的群叫做李群（Lie Group）。
基础知识补充：《微分几何》

流形的定义（我的理解）：流形是一个空间。流形是低维数据映射到高维形成的一个空间。高维空间中的数据会产生维度上的冗余，但实际上这些数据只需要使用较低的维度就能够唯一表示。而之前听到过的流形学习就是：假设数据是均匀采样于一个高维的欧氏空间中的低维流形，流形学习就是从高维采样数据中恢复低维的流形结构，及找到高维空间中的低维流形，并求出相应的嵌入映射，以实现维数约简或者数据可视化。他是从观测到的现象中寻找事物的本质，已找到产生数据的内在规律。

下列图片来自参考博客

SO(3)和SE(3)只有定义良好的乘法，没有加法，所以难以及逆行取极限，求导等操作。（前面不是说是为了求出旋转矩阵的导数才引入群的吗？这里怎么还不能求呢？）

首先由SO(3)(旋转矩阵)来引入李代数。

首先对于旋转矩阵，是正交的，两侧对时间求导，整理之后得到一个反对称矩阵
R˙(t)R(t)T\dot{R}(t)R(t)^TR˙(t)R(t)T
a^表示由向量到反对称矩阵，而

表示由反对称矩阵表示向量。

可看作对R(t)求导之后，左侧多出一个ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)^

对R(t)进行一阶泰勒展开，在t0t_0t0附近ϕ\phiϕ不变，化为微分方程，带入初始条件解之得（有一些细节没有仔细讲）

任意给定一个向量ϕ\phiϕ，能够找到一个对应关系，
eϕ^0t=R(t)e^{\hat\phi_0 t}=R(t)eϕ^0t=R(t)
其中ϕ\phiϕ是李代数，对应关系是指数映射，RRR是李群。
下面是李代数的严格定义：

给出结构带进去验证就能看是否是李代数。

[,]是李括号运算。
SO(3)是矩阵，so(3)是向量(其实矩阵和向量一一对应，都可以，但是这样更自然)，李括号是作用在向量上的运算。

SE(3)的李代数是6维向量，ρ\rhoρ表示平移，ϕ\phiϕ表示旋转，而上尖尖^不再表示对称矩阵，但仍然保留记法。只是把旋转部分的ϕ\phiϕ做反对称，而平移部分不变，由(6,1)->(4,4)

3. 指数映射和对数映射

泰勒展开

通过无穷级数展开（见高数18讲P244）
ex=∑n=0∞xnn!e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}ex=n=0∑∞n!xn
sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sin x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}sinx=n=0∑∞(−1)n(2n+1)!x2n+1
cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\cos x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}cosx=n=0∑∞(−1)n(2n)!x2n
其中3个展开的收敛于均为−∞<x<+∞-\infty<x<+\infty−∞<x<+∞
加上下面的性质能够处理高次幂

即可推得罗德里格斯公式。

那么说明李代数so(3)的物理意义实际上就是旋转向量（罗德里格斯公式就是旋转向量转旋转矩阵，其左侧就是旋转矩阵RRR）。反之，给定旋转矩阵就能求得旋转向量，可以使用对数映射或者下面的转换关系：

对于SE(3)

其中平移向量ρ\rhoρ和变换矩阵中的平移量 ttt 差了一个系数矩阵，即为雅可比矩阵，跟角度有关，旋转部分正好是一个so(3)。

本部分小结

李群–>指数映射–>李代数
李代数–>对数映射–>李群

4. 求导与扰动模型

还是求导，由于李群无加法，所以要求导得从李代数角度出发，在李代数上加一个小的量δϕ\delta \phiδϕ然后用指数运算变换成李群，但是问题是李代数中的加法是否等价于李群的乘法。在标量时显然成立，a，b是标量时显然成立ea∗eb=ea+be^a*e^b=e^{a+b}ea∗eb=ea+b，但是当幂是矩阵时不成立。

引入BCH公式：

矩阵两个exp然后取ln展开是一个关于李括号的一个式子，相当复杂，进行一些近似之后：

当两个矩阵其中有一个为小量时，顾略高阶做以下近似：

当左乘一个小量时，系数就是左雅可比矩阵；当左右乘一个小量时，系数就是右雅可比矩阵，常用左雅可比。

所以李代数上进行小量加法时，相当于利群上左（右）乘一个带雅可比的量。

SE(3)比SO(3)复杂，右上角的QrQ_rQr很复杂。

求导两种方法：

李代数上加一个小量，求变化率
利群上乘一个小量，求相对于李代数的变化率

导数模型：

逆用BCH公式，然后泰勒展开，二次项就为0了，所以泰勒展开就只保留前两项。

扰动模型，左（右）乘一个扰动对应的群

SE(3)的扰动模型：左乘扰动

5. Sophus实践

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