Bounding Box Regression

这篇博客主要讲解为什么可以用线性模型去做Bounding Box Regression，在讲解之前先明确几个先决条件：
（1）Bounding Box由包含四个参数的坐标组成，即

其中G_x,G_y表示Bounding Box的中心点横纵坐标，G_w,G_h分别表示Bounding Box的宽与高。
（2）回归过程涉及到三个坐标
    I. ground-truth bounding box G.
    II. predicted ground-truth box G^’.
    III. proposal P bounding box.

1. Original Paper

2. Bounding Box Regression

如Sec. 1.中提到的，we only learn from a proposal P if it is nearby at least one ground-truth box. 如果不是正例标注框附近的region proposal，那么这样的边界框映射是没有必要的，而附近这个近的程度作者是用IoU定义的。
下面以一个具体的图体会一下：

绿框代表Ground-truth box，红框代表Region Proposal。Bounding Box Regression的目的是让红框 P 进行一定的变换尽量靠近绿框G，用尽量一词是因为不可能实现完全重合，所以只能得到一个靠近的结果G^’，但相比于P肯定是更准确的。设想一下，笨笨的算法看到红框就想往绿框变换，显然将上图中dog1的红框朝着dog2的绿框去变换是没有道理的，所以作者通过IoU限制了这个笨笨的想法。

那么为什么可以用线性回归模型实现这种变换呢？

从上图可以发现最完美的变换应该是右边的t_*，这个变换使得G^’ 与G重合，即完全正确定位，但显然这是小概率事件，因此我们需要一个优化目标。
定义一个对P的变换为：

我们优化的目标就是希望这个定义的变换与完美变换t_* 尽量相近，于是得出优化目标：

其中，式子第二部分表示模型复杂度正则，作者在论文中也对此作了说明。
t_x， t_y对P是线性变换可以理解，但 t_w， t_h明明是log变换，为什么也可以进行线性变换呢？

有人说，根据从上面分析只要保证Region Proposal和Ground Truth的宽高相差不多就能满足回归条件，对x,y位置倒没有太多限制。但我认为这个说法不对，就像上面说的，你得通过x,y位置确定对应的是同一个object。这也是论文在这设置IoU的原因。