二进制位运算

一，前言
二，取整运算
三，七种位运算
- 1，&：与运算，遇0则0
- 2，|：或运算，遇1则1。
- 3，~：取反，0变1，1变0
- 4，^：异或运算
- 5， <<<<<< ：算数左移，低位填充0，高位舍弃
- 6， >>>>>> ：算数右移，高位补符号位，符号位为0就补0，为1补1，同时舍弃低位
- 7，>>>>>>>>> ：无符号右移。高位不管符号位是0还是1，都是补0
- 8，位运算和集合的关系
四，位运算应用
- 1，有关快速幂
- - 取余运算的性质
  - 1.1快速幂取余（基于倍增）
  - 1.2快速积取余
- 2 ，二的非负整数幂
- 3，对机器数每一位操作（获取，设置，取反）

一，前言

（15）₁₀=（1111）₂ …[左边]（第3位，第2位，第1位，第0位）[右边]

二，取整运算

下取整函数在数学中一般记作⌊x⌋\lfloor x \rfloor⌊x⌋或者E(x)，在计算机科学中一般记作floor（x），表示不超过x的整数中最大的一个
floor()是向负无穷大舍入，floor(-10.5) == -11；

上取整函数在数学中一般记作⌈x⌉\lceil x \rceil⌈x⌉，在计算机科学中一般记作ceil（x），表示不小于x的整数中最小的一个
ceil()是向正无穷大舍入，ceil(-10.5) == -10

四舍五入取整，计算机科学中的round（x），如round(-1.3)=-1;round(-1.52)=-2;round(1.3)=1;round(1.52)=2

向零取整，计算机科学中的 fix（x），fix(-1.3)=-1; fix(1.3)=1，简单来讲，负数的上取整，正数的下取整

三，七种位运算

声明：按位运算，每一位都服从这样的法则
对象：机器数即补码（正数补码=源码，负数是取反+1）

1，&：与运算，遇0则0

如：1 & 1=1,1 & 0=0。只要有0结果就是0。

2，|：或运算，遇1则1。

如：1 | 1=1,1 | 0=1。只要有1结果就是1。

3，~：取反，0变1，1变0

有符号整数的符号位在 ~ 运算中同样会取反。

4，^：异或运算

口诀：不进位加（相同为0，相异为1）。
如：1 ^ 0=1,1 ^ 1=0
异或运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变

5， <<<<<< ：算数左移，低位填充0，高位舍弃

对一个负数执行左移操作是不可能的

6， >>>>>> ：算数右移，高位补符号位，符号位为0就补0，为1补1，同时舍弃低位

原来在数中是第 kkk 位的话，右移移 xxx 位后就是第k−xk-xk−x位

7，>>>>>>>>> ：无符号右移。高位不管符号位是0还是1，都是补0

8，位运算和集合的关系

四，位运算应用

1，有关快速幂

n<<m等价于计算n∗(2m)n << m 等价于计算 n*(2^m)n<<m等价于计算n∗(2m)
n>>m等价于计算n/(2m)n >> m 等价于计算 n/( 2^m)n>>m等价于计算n/(2m)，注意右移运算是绝对下取整，想要获取负数的正常数学商要 -1的

取余运算的性质

(A+B)modb=(Amodb+Bmodb)modb(A+B) \mod b = (A \mod b + B \mod b) \mod b(A+B)modb=(Amodb+Bmodb)modb

(A×B)modb=((Amodb)×(Bmodb))modb(A×B) \mod b = ((A \mod b) × (B \mod b)) \mod b(A×B)modb=((Amodb)×(Bmodb))modb

1.1快速幂取余（基于倍增）

题面：给三个整数 a,k,pa,k,pa,k,p，求 akmodpa^k \bmod pakmodp
思路：k其实就可以拆成2的无数次方的和
预处理：令x=2i,i属于[0−9(最大了)]知道axmodp的值令x=2^i,i属于[0- 9(最大了) ]知道 a^x\bmod p的值令x=2i,i属于[0−9(最大了)]知道axmodp的值
利用同余的性质，凡该二进制位是1，那就ans∗ans*ans∗上对应的已知modmodmod 值再 modmodmod

int qmi(int a,int k,int p)
{int res=1;while(k){if(k&1)res=(long long)res* a %p;k>>=1;a=(long long)a*a%p;}return res;
}

1.2快速积取余

题面：给三个整数 a,b,pa,b,pa,b,p，求 a∗bmodpa*b \bmod pa∗bmodp
思路：
1，先用倍增 X 性质1分别求a，b mod k的值
2，在用个性质2，得解

2 ，二的非负整数幂

判断一个数是不是二的非负整数次幂{ return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0; }

对 2 的非负整数次幂取模：{ return x & (mod - 1); }

3，对机器数每一位操作（获取，设置，取反）

获取 a 的第 b 位，最低位编号为 0
int getBit (int a, int b) { return (a >> b) & 1; }

将 a 的第 b 位设置为 0 ，最低位编号为 0
int setBit (int a, int b) { return a & ~(1 << b); }

将 a 的第 b 位设置为 1 ，最低位编号为 0
int setBit(int a, int b) { return a | (1 << b); }

将 a 的第 b 位取反，最低位编号为 0
int flapBit(int a, int b) { return a ^ (1 << b); }

大量摘自oi wiki（逃~~~）位运算 oi wiki

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