快速幂学习笔记

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- 概念与使用缘由
- 两种方法
- - 1.用位运算的方法
  - - 位运算原理
    - 位运算所需要用到的运算符
    - 主程序如下：
    - 程序解析

概念与使用缘由

快速幂，顾名思义，就是用比一个一个相乘更快、更节约时间的求幂次的方法。
比如求2⁴，如果把2乘4次，那么时间复杂度就是O（4），而如果用快速幂，时间复杂度会变成O（log₂4）即为O（2）。

两种方法

1.用位运算的方法

位运算原理

按位运算，就是把a^b中的b转化成二进制的形式，比如：
2⁵ 把5转化成二进制，即为2^(2 ^ 0+2 ^ 2) 也就是 2¹*2⁴ ，
相比之前的2⁵ 需要运算5次，用快速幂的方法就只运算了2次。

位运算所需要用到的运算符

>> ：右移。 a>>b 功能是将运算的数字a的二进制数向右移b位。
右移b位就是除以2的b次方。
例如：b = 10>>2 那么>>运算是这样的：
10 ： 00001010
10>>2：00000010
b：00000010
故b为2。

& ：按位与。a&b 功能是参与运算的两数各对应的二进位相与。
例如：z = 3 & 10 那么&运算是这样的：
3 ： 00000011
10：00001010
z ： 00000010
故z为2。

主程序如下：

#include<stdio.h>
int main() {int a, b;scanf("%d %d", &a, &b);    //求a^bint ans=1;while(b!=0){if(b&1) {ans*=a;}b>>=1;a*=a;}printf("%d\n",ans);
}

其中，这一串代码就是按位运算快速幂

 int ans=1;while(b!=0){if(b&1) {ans*=a;}b>>=1;a*=a;}

程序解析

首先判断幂次b是否为0，当不是0的时候才进行位运算。
进行判断b&1的判断，若为真，则代表了此时的幂次b是奇数，而快速幂的位运算是建立在幂次是偶数的情况下进行的，所以我们用ans存储多乘的那一次，而后把b的二进制数向右移一位，即把a^b 整体除以2的1次方，但是这样是不行的，所以我们把a *= a，相当于把a变成了a²，这样总体就不会改变了。
接下来的的运算过程，我们举2¹¹为例：
第1次循环：因为b是11，为奇数，所以
ans = 2;
2¹¹ = 4⁵ * ans;

第2次循环：因为b是5，为奇数，所以
ans = 2 * 4 = 8;
2¹¹ = 16² * ans;

第3次循环：因为b是2，为偶数，所以
ans =8 ;
2¹¹ = 256¹ * ans;

第4次循环：因为b是1，为奇数，所以
ans =8 * 256 = 2048 ;
2¹¹ = 65536⁰ * ans;

此时，b==0，所以退出循环，输出结果ans。

综上，就是快速幂的位运算方法。

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