捷联惯导坐标系相对转动与圆锥运动精简汇总
一、坐标系转动表达方式
1、初等变换矩阵
<1>坐标系变换矩阵
:从坐标系到坐标系的坐标系变换矩阵
<2>坐标变换矩阵
:为从坐标系到坐标系的坐标变换矩阵;
<3>初等变换矩阵
绕X轴旋转任意一个角度:
绕Y轴旋转任意一个角度:
绕Z轴旋转任意一个角度:
举例:如果导航坐标系(东-北-天),经过三次旋转,旋转顺序:3-1-2(即:分别绕Z轴、X轴、Y轴旋转)得到载体坐标系,其转换矩阵为:
导航系到载体系的方向余弦矩阵为:
注:0系为导航坐标系(东-北-天),3系为载体坐标系(右-前-上)
2、方向余弦阵微分方程/姿态阵微分方程:
(1)微分方程:
(2)方向余弦阵微分方程求解:
注:假设定轴转动,存在不可交换性误差。
3、四元数微分方程:
(1)微分方程:
(2)四元数微分方程求解:
注:假设定轴转动,存在不可交换性误差。
4、等效旋转矢量微分方程:
(1)微分方程:
简化:
用等效旋转矢量计算m-1时刻与m时刻之间,的变化旋转矢量:
注:等号右边第二项,为修正量;第一项就时间间隔内,陀螺仪积分;其中Δθ为陀螺仪积分;
上式求导为:
5、角速度、姿态阵、四元数、旋转矢量之间的关系
(1)姿态阵与旋转矢量:
(2)四元数与旋转矢量:
注:其中u为单位长度的三维矢量;
或:
(3)姿态阵与四元数关系:
二、描述圆锥运动
1、角运动和圆锥运动:
(1)圆锥现象验证:
具体步骤:通过假设圆锥环境下,
<1> IMU陀螺仪旋转轴和输出轴出现同频不同相的情况,得到三轴角速率;
<2> 利用两个时刻之间,变化四元数;通过四元数微分方程,得到四元数表示的角速度;
通过将<1> 与<2> 进行比较,得到圆锥现象!
(2)圆锥误差补偿算法:
前提是:在圆锥环境下,即Tm-1时刻与Tm时刻的四元数均为圆锥环境下定义的四元数;
<1>利用四元数更新方程,得到周期内的变化四元数,
<2>通过旋转矢量表达式,与<1>中的变化四元数相等,得到周期内的旋转矢量;
<3>将周期内的角速度积分,得到角增量,然后与<2>进行比较,两者做差(<2>减去<3>)即为圆锥运动环境下,的不可交换性误差;
(3)不可交换性误差补偿算法:
多项式角运动环境(基于泰勒级数展开的多子样算法):
圆锥误差补偿多子样算法:
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