一阶微分方程

简介

四阶龙格库塔方法

一阶微分方程解法

class Runge_Kutta:def __init__(self) -> None:pass# 原函数的导函数def f_xy(self, x, y):value = x - yreturn value# 由当前点和步进值，计算下一个点def run(self, start=[0, 0], step=0.01 ):# cal x0 y0x0, y0 = startK1 = self.f_xy(x0, y0)K2 = self.f_xy(x0 + step/2, y0 + (step/2)*K1 )K3 = self.f_xy(x0 + step/2, y0 + (step/2)*K2 )K4 = self.f_xy(x0 + step, y0 + step*K3)Next_y = y0 + (step / 6) * (K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4)Next_x = x0 + stepreturn round(Next_x, 6), round(Next_y, 6)# 实例化
RK = Runge_Kutta()
# 传入起始值， 步进值， 获得下一个 xy 点
x, y = RK.run(start=(0, 0), step=0.2)
# 可以使用此语句进行迭代
x, y = RK.run(start=(x, y), step=0.2)# 0  --- :  0.6 0.148817
# 1  --- :  0.8 0.249335
# 2  --- :  1.0 0.367886
# 3  --- :  1.2 0.501201
# 4  --- :  1.4 0.646603
# 5  --- :  1.6 0.801902
# 6  --- :  1.8 0.965304
# 7  --- :  2.0 1.13534
# 8  --- :  2.2 1.310807
# 9  --- :  2.4 1.490721

广义

class Equ:def __init__(self) -> None:pass# 原函数的导函数def f_xy(self, x, y):value = x - yreturn value# 欧拉法def euler(self, start=[0, 0], step=0.01):# cal x0 y0x0, y0 = startNext_y = y0 + step * self.f_xy(x0, y0)Next_x = x0 + stepreturn round(Next_x, 6), round(Next_y, 6)# 改进欧拉法def euler_improve(self, start=[0, 0], step=0.01):# cal x0 y0x0, y0 = startyp = y0 + step * self.f_xy(x0, y0)yq = y0 + step * self.f_xy(x0 + step, yq)Next_y = 0.5 * (yq + yp)Next_x = x0 + stepreturn round(Next_x, 6), round(Next_y, 6)# 四阶龙哥库达算法def RK(self, start=[0, 0], step=0.01 ):# cal x0 y0x0, y0 = startK1 = self.f_xy(x0, y0)K2 = self.f_xy(x0 + step/2, y0 + (step/2)*K1 )K3 = self.f_xy(x0 + step/2, y0 + (step/2)*K2 )K4 = self.f_xy(x0 + step, y0 + step*K3)Next_y = y0 + (step / 6) * (K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4)Next_x = x0 + stepreturn round(Next_x, 6), round(Next_y, 6)

高阶微分方程

简介

引进新的变量将高阶微分方程归结为一阶微分方程组的初值问题来求解。
一般而言，高阶微分方程可以改写为状态方程。
例如：
y(x)′′+3y(x)′+2y(x)=4xy(x)''+3y(x)'+2y(x)=4x y(x)′′+3y(x)′+2y(x)=4x
令
{x1=yx2=x1′\begin{cases} x_1=y\\ x_2=x_1' \end{cases} {x1=yx2=x1′
得到新的微分方程
{x1′=x2x2′=−2x1−3x2+4x\begin{cases} x_1'=x_2 \\ x_2'=-2x_1-3x_2+4x \end{cases} {x1′=x2x2′=−2x1−3x2+4x
故求解 yyy 的过程就是求解 x1x_1x1 、求解 x1x_1x1 就是求解 x2x_2x2
相当于求解2个一阶微分方程

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