《程序员的数学》这本书，除了前两章介绍数学的基本概念外，其它章节主要通过思考题的方式，在解答过程中给我们讲解数学知识和思维方式。所以看完整本书后，通过对思考题的不断训练 ，可以使我们串起书中的知识点，巩固知识。为了便于日后的复习，这里整理了书中绝大多数的思考题，内容舒适，请放心食用。

ps：答案只有结果，不包含解答过程。

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P64：今天是星期日，那么100天以后是星期几？

**答：**星期二。

P66：今天是星期日，那么10^100天以后是星期几？

**答：**星期四。

P70：1234567^987654321的个位数是什么？

答： 7。

P71：棋子魔术

魔术师和他的徒弟在台上表演，下面有3位观众。魔术师蒙着眼睛。

(1)桌上随机排列着7个黑白棋的棋子(图3-4)。魔术师蒙着眼睛，看不到棋子。

(2)魔术师的徒弟看完这7枚棋子之后，又往右面添了一枚棋子，与其他棋子并排，这时则有8枚棋子(图3-5)。魔术师依然蒙着眼睛。

(3)这时观众可将其中的1枚棋子翻转，或不翻转任何棋子(图3-6)。

(4)魔术师摘下眼罩，观察8枚棋子，然后马上就能说出“观众翻转了棋子”或“没有翻转棋子”，识破观众的行为。

魔术师是如何识破观众的行为的呢？

答：

徒弟在观众摆放的7枚棋子中，数出黑棋的个数。如果黑棋数是奇数，就添黑棋。如果黑棋数是偶数，就添白棋。不管哪种情况，在最终的8个棋子中，黑棋必为偶数个。

观众的行为可以是以下(1)~(3)三种情况之一。

(1)观众翻转白旗。那么，黑棋就增加了1枚，即黑棋变为奇数个。

(2)观众翻转黑棋。那么，黑棋就减少了1枚，黑棋也变为奇数个。

(3)观众不翻转棋子。黑棋仍然是偶数个。

魔术师摘下眼罩，马上数出黑棋的个数。如果黑棋为奇数个，就说“观众翻转了棋子”。如果为偶数个，就说“没有翻转棋子”。

这里，徒弟摆放棋子使“黑棋个数为偶数”。若使“黑棋个数为奇数”也可以，只要魔术师和徒弟事先商量好就行。

P74：寻找恋人

在一个小王国中，有8个村子(A~H)。如图3-8所示，各个村子之间有道路相连(黑点表示村子，线表示道路)。而你要寻找流浪在这个王国的你唯一的恋人。

你的恋人住在8个村子中的某一个里。她每过1个月便顺着道路去另一个村子，每个月都一定会换村子，然而选择哪个村子是随机的，预测不了。例如，如果恋人这个月住在G村，那么下个月就住在“C、F、H中的某个村子”。

目前你手头上掌握的确凿信息只有：1年前(12个月前)，恋人住在G村。请求出这个恋人住在A村的概率。

**答：**概率为0。

P77：铺设草席

如图3-11所示，有这样一个房间。使用图中右下角所示的草席能够正好铺满房间吗？前提是不能使用半张草席。

**答：**不能。

P79：哥尼斯堡七桥问题

在很久以前，有一个叫哥尼斯堡的小城。小城被河流分割成了4块陆地。人们为了连接这些陆地，建设了7座桥(图3-13)。

现在你要找出走遍7座桥的方法。但是，必须遵守以下条件：

走过的桥不能再走。

可以多次经过同一块陆地。

可以以任一块陆地为起点。

不需要回到起点。

最后，如果能够走遍7座桥的话，请说明一下方法。如果不能的话，也请说明一下。

答：

不能走遍哥尼斯堡七桥。

P88：存钱罐的钱

在你面前有一个空存钱罐。

第 1 天，往存钱罐里投入 1 元。存钱罐中总金额为 1 元。

第 2 天，往存钱罐里投入 2 元。存钱罐中总金额为 1 + 2 = 3 元。

第 3 天，往存钱罐里投入 3 元。存钱罐中总金额为 1 + 2 + 3 = 6 元。

第 4 天，往存钱罐里投入 4 元。存钱罐中总金额为 1 + 2 + 3 + 4 = 10 元。

那么，每天都这样往存钱罐里投入硬币的话，第 100 天时的总金额为多少呢？

答： 5050元。

P99：黑白棋子的颜色

黑白棋一面是白色，一面是黑色。现在，我们往棋盘上随便仍几枚棋子。有时会碰巧都是白色或都是黑色。但有时既有白棋，也有黑棋。

使用数学归纳法可以“证明”投掷的黑白棋的颜色一定相同。然而现实中这却是不可能的。

那么，请找出下述“证明”中的错误之处。

假设n为1以上的整数，用数学归纳法证明以下断言T(n)对于1以上的所有整数n都成立。

断言T(n)：投掷n枚黑白棋，所有棋子的颜色一定相同。

步骤1：基地的证明

证明T(1)成立。

断言T(1)即“投掷1枚黑白棋子时，所有棋子的颜色一定相同”。棋子只有1个，颜色当然只有1种，因此T(1)成立。

这样，步骤1就得到了证明。

步骤2：归纳的证明

证明当k为1以上的任意整数时，“若T(k)成立，则T(k+1)也成立”。

首先假设“投掷k枚黑白棋子时，所有棋子的颜色一定相同”成立。现假设投掷k枚棋子后，再投掷一枚黑白棋。那么投掷的棋子总数为k+1枚。

这里，将投掷的棋子以每k枚为单位分为两组，分别将这两组称为A和B(图4-5)。

因为“投掷k枚黑白棋子时，所有棋子的颜色一定相同”的假设成立，所以A组的棋子(k枚)和B组的棋子(k枚)，分别都是相同色。而通过图4-5可见，两组共有的棋子为k-1枚。因为各组的棋子颜色相同，又有两组共有的棋子，所有k+1枚棋子颜色相同。这就是断言T(k+1)。

这样，步骤2就得到了证明。

通过数学归纳法，证明了断言T(n)对于1以上的所有整数n都成立。这个证明有什么不对的地方呢？

答：

步骤1没有问题。若棋子只有1枚，那么就只有1种颜色。

问题在步骤2的图(图4-5)中。实际上，该图在k=1时不成立。k=1时，两组棋子分别都只有1枚。双方共有的棋子为k-1枚，而k-1=0，所有不存在同属于两个组的棋子(图4-6)。

因此在数学归纳法的两个步骤中，步骤2是无法得到证明的。

P111：植树问题

在10米长的路上，从路的一端起每隔1米种一棵树，那么需要种多少颗树？

答： 11棵。

P112：最后的编号

内存中排列着程序要处理的100个数据。从第1个开始顺次编号为0号、1号、2号、3号......那么，最后1个数据的编号是多少？

答： 99号。

P115：加法法则

在一副扑克牌中，有10张红桃数字牌(A、2、3、4、5、6、7、8、9、10)，3张红桃花牌(J、Q、K)。那么红桃共有多少张？

答： 13张。

P115：控制亮灯的扑克牌

在一副扑克牌中，有13个级别(A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K)。这里，我们分别将A、J、Q、K设为整数1、11、12、13。

在你面前有一个装置，只要往里面放入1张牌，它就会根据牌的级别控制灯泡的亮灭。我们假设放入的扑克牌的级别为n(1~13的整数)，

若n是2的倍数，则亮灯。

若n是3的倍数，也亮灯。

若n既不是2的倍数，也不是3的倍数，则灭灯。

往这个装置中依次放入13张红桃，其中亮灯的有多少张牌呢？

答： 8张。

P117：乘法法则

在一副扑克牌中，有红桃、黑桃、方片、梅花四种花色。每个花色都有A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K这13个等级。那么，一副扑克牌共有多少张？(这里除去王牌)

答： 52张。

P119：3个骰子

将3个写有数字1到6的骰子并列放置，形成一个3位数，共能形成多少个数字？

答： 216个。

P120：32个灯泡

1个灯泡有亮和灭2种状态。若将32个这样的灯泡排成一排，则共有多少种亮灭模式。

答： 4294967296种。

P121：3张牌的置换

如果将A、B、C这3张牌按照ABC、ACB、BAC......等顺序排列，那么共有多少种排法？

答： 6种。

P123：扑克牌的置换

将一副扑克牌里的52张(不包括王牌)摆成一列，共有多少种摆法？

答： 52！(52的阶乘)

P125：从5张扑克牌中取出3张进行排列

你现在手上持有A、B、C、D、E共5张牌。要从这5张牌中取出3张牌进行排列。请问有多少种排法？

答： 60种。

P134：药品调剂

现假设要将颗粒状的药品调剂成一种新药。药品有A、B、C三种。新药调剂规则如下。

从A、B、C这3种药品中，共取100粒进行调剂。

调剂时，A、B、C这3种药品每种至少有1粒。

不考虑药品调剂的顺序。

同种药品每粒都相同。

这种情况下，新药调剂的组合共有多少种？

答： 4851种

P136：至少有一端是王牌

现在有5张扑克牌，其中王牌2张，J、Q、K各1张。将5张牌排成一排，左端或右端至少有一端是王牌的排法有多少种？(不区分大小王牌)

答： 42种。