AB=C型向量分解思路思考

@(线性代数)

关于这种矩阵的方程，多数情况下，都要奔着列分块的方向去，有些情况下要进行视角翻转，用行分块来思考。

而一般情况下，在右边的矩阵要被完全打开供大家研究，两边只要列分块即可。

因为一旦用到向量，最强大的，最基础的武器，思考方式是考察向量组是否可以线性表出，是否线性相关。整门学科的名字叫线性代数，可见线性标出的地位。

而本身这个知识点是不难理解的，只是大多数时候，我们会觉得拆开好麻烦，要是有公式，有定理直接用上就解决问题就好了，形成了定势是，能不拆就不拆。到后来不得不拆变成不敢拆，一拆就回不来了。。。

分析一个问题。

（2013.5）设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C,且B可逆，则（B）.

A. 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
B. 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
C. 矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
D. 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价

分析：凭直觉看出B对也是OK的，毕竟有些时候直觉很准。如果仔细来分析，这种就是展开一看问题就解决了的问题。

主要是这种思路的养成。
B在A的右边，我们直接B拆开成一个一个元素，A,C列分块成向量即可。

令：A=[α1,α2,α3,...,αn]A = [\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n]
C=[γ1,γ2,γ3,...,γn]C = [\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,...,\gamma_n]

B=⎡⎣⎢⎢⎢⎢b11b21...bn1b12b22...bn2............b1nb2n...bnn⎤⎦⎥⎥⎥⎥

B = \left[\begin{array}{ccc} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1n} \\ b_{21} &b_{22} & ... & b_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{nn} \end{array}\right]

代入AB=CAB=C即为：

[α1,α2,α3,...,αn]⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎢b11b21...bn1b12b22...bn2............b1nb2n...bnn⎤⎦⎥⎥⎥⎥=[γ1,γ2,γ3,...,γn]

[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n]\cdot \left[\begin{array}{ccc} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1n} \\ b_{21} &b_{22} & ... & b_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{nn} \end{array}\right] = [\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,...,\gamma_n]

根据矩阵的乘法计算规则：

γ1=α1b11+α2b21+...+αnbn1γ2=α1b12+α2b22+...+αnbn2...γn=α1b1n+α2b2n+...+αnbnn

\gamma_1 = \alpha_1 b_{11}+\alpha_2 b_{21}+...+\alpha_n b_{n1} \\ \gamma_2 = \alpha_1 b_{12}+\alpha_2 b_{22}+...+\alpha_n b_{n2} \\ ... \\ \gamma_n = \alpha_1 b_{1n}+\alpha_2 b_{2n}+...+\alpha_n b_{nn} \\

可见，每一个γi\gamma_i都可以被A的列向量线性表出。

但是这不能完全说明，只说明了问题的一半，因为等价意味着可以相互表出。

此时B可逆就派上了用场。
CB−1=ACB^{-1} = A,把B−1B^{-1}展开，则A的列向量可以表出C.

妥妥的，B正确。

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