作者：凯鲁嘎吉 - 博客园

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一、实验原理

二、实验步骤

三、实验过程

1.(程序)

(1)二分法：求

 在区间(1，2)之间的根，取

(a)bipart.m:

function [x,m]=bipart(fun,a0,b0,tol)

a=a0;b=b0;

m=1+round(round(log((b-a)/tol))/log(2));

for k=1:m

p=(a+b)/2;

if fun(p)*fun(b)<0

a=p;

else

b=p;

end

x=p;

end

end

(b)fun1.m:

function f=fun1(x)

f=x^3+10*x-20;

(2)不动点迭代法：求方程

在

附近的根，取

(a)budong.m:

function [x,k]=budong(fun,x0,tol,m)

for k=1:m

x=fun(x0);

if abs(x-x0)

break;

end

x0=x;

end

x=vpa(x,8);

(b)fun.m

function t=fun(x1)

syms x;

f=x^3-2*x-5;

s=subs(diff(f,x),x,x1);

x=x1;

f=x^3-2*x-5;

t=x-f/s;

(3)牛顿迭代法：求方程

在

附近的根，取

newton.m:

function x1=newton(t1,esp,m)

syms x;

fun=x^3+2*x-5;

for k=1:m

if abs(subs(diff(fun,'x'),x,t1))

x1=t1;

break;

else

if subs(diff(fun,'x',2),x,t1)==0

break;

disp('解题失败！')

else

t0=t1;

t1=t0-subs(fun,x,t0)/subs(diff(fun,'x'),x,t0);

if abs(t1-t0)

x1=t1;

break;

end

end

end

end

x1=vpa(x1,8);

2.(运算结果)

(1)二分法：

>> [x,m]=bipart(@fun1,1,2,0.0001)

x =

1.5945

m =

14

(2)不动点迭代法：

>> [x,k]=budong(@fun,2,1e-5,100)

x =

2.0945515

k =

4

(3)牛顿迭代法：

>> x1=newton(2,1e-4,20)

x1 =

1.3282689

3.(拓展(方法改进、体会等))

对于方程的根为重根的情形，newton法求重根只是线性收敛，迭代缓慢，如果对于求重根的情形，对newton法进行改进，取

 ，

则

。用迭代法

求m重根，则具有二阶收敛性，但要知道的重数m。

计算方程

的根

是二重根，用newton法与改进方法求根。

源程序：

newton_biroot.m:

function t=newton_biroot(x1)

syms x;

f=x^4-4*(x^2)+4;

s=subs(diff(f,x),x,x1);

x=x1;

f=x^4-4*(x^2)+4;

t=x-f/s;

biroot1.m:

function t=biroot1(x1)

syms x;

f=x^4-4*(x^2)+4;

s=subs(diff(f,x),x,x1);

x=x1;

f=x^4-4*(x^2)+4;

t=x-2*f/s;

budong.m:

function [x,k]=budong(fun,x0,tol,m)

for k=1:m

x=fun(x0);

if abs(x-x0)

break;

end

x0=x;

x=vpa(x,8)

end

x=vpa(x,8);

运行结果：取初值为2

k

xk

newton法

改进方法

1

x1

1.75

1.5

2

x2

1.5982143

1.4166667

3

x3

1.5115099

1.4142157

4

x4

1.4644275

1.4142157

计算4步，改进方法就已经收敛，而newton法只是线性收敛，要达到同样精度需迭代17次。

附结果：

>> [x,k]=budong(@biroot1,2,1e-5,3)

x =

1.5

x =

1.4166667

x =

1.4142157

x =

1.4142157

k =

3

>> [x,k]=budong(@biroot1,2,1e-5,10)

x =

1.5

x =

1.4166667

x =

1.4142157

x =

1.4142136

k =

4

>> [x,k]=budong(@newton_biroot,2,1e-5,50)

x =

1.75

x =

1.5982143

x =

1.5115099

x =

1.4644275

x =

1.439751

x =

1.4270955

x =

1.4206836

x =

1.4174559

x =

1.4158366

x =

1.4150256

x =

1.4146197

x =

1.4144166

x =

1.4143151

x =

1.4142643

x =

1.414239

x =

1.4142263

x =

1.4142199

k =

17

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