数字信号处理--7.3--基础篇

老实说，最近有那么点浮躁，急于求成，突然觉得那么没意思，因此，删了之前数字信号处理方面的文章。我决定，重新系统学习。

人生每一次的改变，都更加明确了我的方向。。。

不要嘲笑，零基础开始。。。

单位抽样序列是单位阶跃序列的后向差分

序列的能量，是指序列各抽样值平方和。

证明一个系统是线性系统，必须证明可加性，可比例性，而且信号以及任何比例常数都可以是复数。而且，零输入得到零输出。

两个线性以不变系统级联后还是线性以不变系统，其单位抽样响应为两个系统单位抽样响应的卷积，与先后次序无关。-->结合律

并联后，单位抽样响应为两个之和。-->分配率

输出只取决于此刻和此刻之前，因果系统。

一个线性移不变系统稳定的充要条件是单位抽样响应绝对可和。

Z变换

Z变换是信号与系统分析的变换域方法

Z变换是连续信号的拉普拉斯变换过渡在离散信号上。

通常用极点所在的圆，界定收敛域边界

线性系统对复指数序列或正弦序列的稳态响应，就是系统的频域表示法。

单位抽样响应的傅立叶变换，称为系统频率响应。描述了复指数序列，经过系统后，复振幅（包括相位和幅度）的变化。系统频率响应，正是系统函数在单位圆上的值。

对于线性移不变系统，输出序列的傅立叶变换等于输入序列的傅立叶变换和频率响应的乘积。

傅立叶变换

是以时间函数变换成频率函数。

几种可能形式

时间连续频率连续 ->傅立叶变换 ->时域连续导致频域非周期，频域连续导致时域非周期

时间连续离散频率 ->傅立叶级数 ->时域连续导致频域非周期，频域离散导致时域周期

离散时间连续频率 ->序列的傅立叶变换 ->时域离散导致频域周期延拓，频域连续导致时域非周期

离散时间离散频率 ->离散傅立叶变换 ->DFT时域和频域都是离散，周期的。

DFS：

抽样Z变换

有限长序列的线性卷积和圆周卷积关系：

N点圆周卷积是线性卷积以N为周期的周期延拓序列的主值序列。

当圆周卷积长度大于等于N1+ N2 - 1时，圆周卷积能够代表线性卷积。

线性相关和圆周相关与上面关系一样，少了翻折这步操作。

抽样率转换

先插值I倍，后抽取D倍，用低通滤波器实现。

频域抽样理论

以频域抽样的序列还原得到的周期序列是原非周期序列的周期延拓序列，周期为采样点数N。然后再取主值序列，还原了原序列。

所以时域抽样造成频域周期延拓。

频域抽样造成时域周期延拓

无限长序列，混叠失真

只有当频域采样点数大于等于序列长度时，不失真恢复原来信号，否则产生混叠现象、

用DFT对模拟信号逼近时，产生的问题：

1 混叠失真

模拟信号最高频率分类和频域抽样间隔存在矛盾关系，前者增加，若长度固定，则后者必然下降，即频率分辨力下降。

反之依然。因此，要增加长度N 使其满足 N = Fs / Fo > 2Fh / Fo

该公式是实现DFT算法的最低要求。、

其中最高频率，可以根据峰谷变化最快的时间T0内计算 1 / 2t0

2 频谱泄漏

一定会发生，改善方式：增加窗函数长度，不要矩形窗，用缓慢变化的窗

3 栅栏效应

改善方法：增加频域抽样点N，即在时域补零

4 频率分辨率

注意，是实际长度，而不是补零后的长度。

补零的好处是 1 克服栅栏效应， 2 便于FFT算法计算、

CZT算法原理：

在Z平面，对序列进行螺线抽样，再进行Z变换，得到线性调频z变换。其实现原理是通过螺线抽样，z变换，最后得到两个因式的卷积。

其中一个因式为线性调频信号。

用FFT算法计算线性卷积，其实是用圆周卷积代替线性卷积。分类讨论得到，圆周卷积在点数较小时，运算量小，又称快速卷积。

当点数很多时，优点不明显，采用分段卷积或者分段过滤办法。有两种办法：

1 重叠相加

分段，圆周卷积，重叠相加

2 重叠保留

分段后，保留前面一定数量的点，再圆周卷积，第一段前面补零。因此首先右移N - 1位。

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