[leetcode]1131. 绝对值表达式的最大值 --绝对值表达式枚举拆分的方法

1、重要的数学推导:

|a| = Max(a, -a)
|a-b|+|c-d|
= Max(a-b, b-a) + Max(c-d, d-c)     // max(a-b, -(a-b)) + max(c-d, -(c-d))
= Max{(a-b)+(c-d),(b-a)+(c-d),     // -(a - b) + (c - d)(a-b)+(d-c),(b-a)+(d-c),     // -(a - b) + (c - d) }

2、对于此题就有：

|arr1[i] - arr1[j]| + |arr2[i] - arr2[j]| + |i - j|
= max(arr1[i] - arr1[j], arr1[j] - arr1[i]) + max(arr2[i] - arr2[j], arr2[j]-arr2[j]) + max(i-j, j-i)
=max{(arr1[i] + arr2[i] + i) - (arr1[j] + arr2[j] + j) //式1(arr1[i] + arr2[i] - i) - (arr1[j] + arr2[j] - j) //式2(arr1[i] - arr2[i] + i) - (arr1[j] - arr2[j] + j) //式3(arr1[i] - arr2[i] - i) - (arr1[j] - arr2[j] - j) //式4-(arr1[i] + arr2[i] + i) + (arr1[j] + arr2[j] + j)//式5-(arr1[i] + arr2[i] - i) + (arr1[j] + arr2[j] - j)//式6-(arr1[i] - arr2[i] + i) + (arr1[j] - arr2[j] + j)//式7-(arr1[i] - arr2[i] - i) + (arr1[j] - arr2[j] - j)//式8}

设：

A = arr1[i] + arr2[i] + i
B = arr1[i] + arr2[i] - i
C = arr1[i] - arr2[i] + i
D = arr1[i] - arr2[i] - i

因为我们要求绝对值表达式的最大值，所以对于上面的表达式,每个表达式都应取最大值，就是说只有让前面符号是正的最大，前面符号是负的最小才行，这样就能O(n)算出绝对值表达式的最大值了

|arr1[i] - arr1[j]| + |arr2[i] - arr2[j]| + |i - j|
=max(  max(A) - min(A),max(B) - min(B),max(C) - min(C),max(D) - min(D),-min(A) + max(A),-min(B) + max(B),-min(C) + max(C),-min(C) + max(C))

实现代码:

class Solution {public:int maxAbsValExpr(vector<int>& arr1, vector<int>& arr2) {int f[8][3] = { { 1, 1, 1}, { 1, -1, 1}, { 1,-1,-1}, {1,1,-1},{-1, 1, 1}, {-1, -1, 1}, {-1, 1,-1}, {-1,-1,-1}};int ans = INT_MIN;for(int k = 0; k < 8; k++){int mx = INT_MIN;int mi = INT_MAX;for(int i = 0; i < arr1.size(); i++){mx = max(mx, arr1[i]*f[k][0] + arr2[i]*f[k][1] + i*f[k][2]);mi = min(mi, arr1[i]*f[k][0] + arr2[i]*f[k][1] + i*f[k][2]);}ans = max(ans, mx - mi);}return ans;}
};

当然上面其实是有重复的。如： max(A) - min(A) == -min(A) + max(A)
所以可以改成这样:

class Solution {public:int maxAbsValExpr(vector<int>& arr1, vector<int>& arr2) {int f[4][3] = { { 1, 1, 1}, { 1, -1, 1}, { 1,-1,-1}, {1,1,-1}};int ans = INT_MIN;for(int k = 0; k < 4; k++){int mx = INT_MIN;int mi = INT_MAX;for(int i = 0; i < arr1.size(); i++){mx = max(mx, arr1[i]*f[k][0] + arr2[i]*f[k][1] + i*f[k][2]);mi = min(mi, arr1[i]*f[k][0] + arr2[i]*f[k][1] + i*f[k][2]);}ans = max(ans, mx - mi);}return ans;}
};

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