拉普拉斯方程与复微分

对于 z=x+iyz=x+iy，有 f(z)=u+ivf(z)=u+iv，则 f(⋅)f(\cdot) 是复可微的，当且仅当它的偏导数满足所谓的柯西-黎曼方程，

∂u∂x=∂v∂y∂u∂y=−∂v∂x

\begin{split} &\frac {\partial\; u}{\partial\; x}=\frac {\partial\; v}{\partial\; y}\\ &\frac {\partial\; u}{\partial\; y}=-\frac {\partial\; v}{\partial\; x} \end{split}

进一步可推出著名的拉普拉斯方程：

∂2f∂2x+∂2f∂2y=0

\frac{\partial^2f}{\partial^2x}+\frac{\partial^2f}{\partial^2y}=0

证：∂f∂x=∂u∂x+i∂v∂x=∂v∂y−i∂u∂y\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y} ⇒ ∂2f∂2x=∂2u∂y∂x−i∂2v∂y∂x\frac{\partial^2f}{\partial^2x}=\frac{\partial^2u}{\partial y\partial x}-i\frac{\partial^2v}{\partial y\partial x}

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