https://www.zhihu.com/question/29096466

参考文章

极坐标形式

假设复函数fff在复平面上的一点z0z_0z0处可微。假定z0≠0,z=reiθz_0 \neq0,z=re^{i\theta}z0=0,z=reiθ，将复函数fff的实部和虚部表示成rrr和θ\thetaθ的二元函数：
f(reiθ)=u(r,θ)+iv(r,θ)f(re^{i\theta})=u(r,\theta)+iv(r,\theta)f(reiθ)=u(r,θ)+iv(r,θ)

复函数可微的Cauchy-Riemann条件

{∂u∂r=1r∂v∂θ∂v∂r=−1r∂u∂θ\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial r}&=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta} \\ \frac{\partial v}{\partial r}&=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧∂r∂u∂r∂v=r1∂θ∂v=−r1∂θ∂u
第一个式子对rrr求偏导：
∂2u∂r2=−1r2∂v∂θ+1r∂2v∂r∂θ\frac{\partial^2{u}}{\partial{r^2}}=-\frac{1}{r^2}\frac{\partial{v}}{\partial{\theta}}+\frac{1}{r}\frac{\partial ^2v}{\partial {r}\partial {\theta}} ∂r2∂2u=−r21∂θ∂v+r1∂r∂θ∂2v
第二个式子对θ\thetaθ求偏导：
1r2∂u∂2θ=−1r∂2v∂r∂θ\frac{1}{r^2}\frac{\partial u}{\partial^2 \theta}=-\frac{1}{r}\frac{\partial ^2v}{\partial {r} \partial{\theta}}r21∂2θ∂u=−r1∂r∂θ∂2v
以上两式相加得：
∂2u∂r2+1r2∂2u∂2θ=−1r2∂v∂θ\frac{\partial^2{u}}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 {u}}{\partial^2 \theta}=-\frac{1}{r^2}\frac{\partial{v}}{\partial{\theta}}∂r2∂2u+r21∂2θ∂2u=−r21∂θ∂v
代入条件得到：
∂2u∂r2+1r2∂2u∂2θ+1r∂u∂r=0\frac{\partial^2{u}}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{u}}{\partial^2 \theta}+\frac{1}{r}\frac{\partial{u}}{\partial{r}}=0∂r2∂2u+r21∂2θ∂2u+r1∂r∂u=0
⇒\Rightarrow⇒
1r∂∂r(r∂u∂r)+1r2∂2u∂2θ=0\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial{r}}(r\frac{\partial {u}}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2{u}}{\partial^2 \theta}=0r1∂r∂(r∂r∂u)+r21∂2θ∂2u=0

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