核函数(Kernel Function)与SVM

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1.核函数把低维空间映射到高维空间

下面这张图位于第一、二象限内。我们关注红色的门，以及“北京四合院”这几个字下面的紫色的字母。我们把红色的门上的点看成是“+”数据，紫色字母上的点看成是“-”数据，它们的横、纵坐标是两个特征。显然，在这个二维空间内，“+”“-”两类数据不是线性可分的。

我们现在考虑核函数K(v1,v2)=<v1,v2>2K(v_1,v_2) = <v_1,v_2>^2K(v1,v2)=<v1,v2>2，即“内积平方”。
这里面v1=(x1,y1)v_1=(x_1,y_1)v1=(x1,y1), v2=(x2,y2)v_2=(x_2,y_2)v2=(x2,y2)是二维空间中的两个点。

这个核函数对应着一个二维空间到三维空间的映射，它的表达式是：
P(x,y)=(x2,2xy,y2)P(x,y)=(x^2,\sqrt{2}xy,y^2)P(x,y)=(x2,2xy,y2)

在P这个映射下，原来二维空间中的图在三维空间中的像是这个样子：

前后轴为x轴，左右轴为y轴，上下轴为z轴）
注意到绿色的平面可以完美地分割红色和紫色，也就是说，两类数据在三维空间中变成线性可分的了。
而三维中的这个判决边界，再映射回二维空间中是这样的：

这是一条双曲线，它不是线性的。

如上面的例子所说，核函数的作用就是隐含着一个从低维空间到高维空间的映射，而这个映射可以把低维空间中线性不可分的两类点变成线性可分的。当然，我举的这个具体例子强烈地依赖于数据在原始空间中的位置。事实中使用的核函数往往比这个例子复杂得多。它们对应的映射并不一定能够显式地表达出来；它们映射到的高维空间的维数也比我举的例子（三维）高得多，甚至是无穷维的。这样，就可以期待原来并不线性可分的两类点变成线性可分的了。

2.常见的核函数

在机器学习中常用的核函数，一般有这么几类，也就是LibSVM中自带的这几类：

线性：K(v1,v2)=<v1,v2>K(v_1,v_2)=<v_1,v_2>K(v1,v2)=<v1,v2>
多项式：K(v1,v2)=(γ<v1,v2>+c)nK(v_1,v_2)=(\gamma<v_1,v_2>+c)^nK(v1,v2)=(γ<v1,v2>+c)n
Radial basis function：K(v1,v2)=exp⁡(−γ∣∣v1−v2∣∣2)K(v_1,v_2)=\exp(-\gamma||v_1-v_2||^2)K(v1,v2)=exp(−γ∣∣v1−v2∣∣2)
Sigmoid：K(v1,v2)=tanh⁡(γ<v1,v2>+c)K(v_1,v_2)=\tanh(\gamma<v_1,v_2>+c)K(v1,v2)=tanh(γ<v1,v2>+c)

我举的例子是多项式核函数中γ=1\gamma=1γ=1, c=0c=0c=0, n=2n=2n=2的情况。

3.核函数的性质

核函数只是满足某些必要条件的函数，其作用要与具体的算法结合才能显示出来。
我来简明说一下SVM中核技巧(kernel trick)的作用，一句话概括的话，就是降低计算的复杂度，甚至把不可能的计算变为可能。
核函数有如下一个性质：
K(x1,x2)=ϕ(x1)∗ϕ(x2)K(x_1,x_2) = \phi (x_1)*\phi(x_2)K(x1,x2)=ϕ(x1)∗ϕ(x2)

其中ϕ(x)\phi(x)ϕ(x) 是对xxx做变换的函数，有些变换会将样本映射到更高维的空间，如果这个高维空间内x1x_1x1与x2x_2x2是线性可分的，那么我们就做了一次成功的变换。核函数是二元函数，输入是变换之前的两个向量，其输出与两个向量变换之后的内积相等（这个性质非常重要）

4.核函数与SVM

求解SVM时，其原始形式(这里我们假设已经对原始的输入做了变换，即输入模型的样本变成了ϕ(x))\phi(x))ϕ(x))

12wTw+C∑1Nβi\frac{1}{2}w^{T}w + C\sum_{1}^{N}{\beta_i} 21wTw+C1∑Nβi s.t.
yi(wTϕ(xi)+b)≥1−βiy_i(w^{T}\phi(x_i)+b) \geq 1 - \beta_iyi(wTϕ(xi)+b)≥1−βi

βi≥0\beta_i \geq 0βi≥0
i = 1 , 2… N(N为样本个数)

这是个二次规划，因为未知量的个数是参数w的维度，而w的维度与样本的维度相等，即等于变换后ϕ(x)\phi(x)ϕ(x)的的维度，所以其求解复杂度与样本的维数正相关，这意味着，如果我们把原始样本从十维空间变换到一万维的空间，那么求解该问题的时间复杂度提升了1000倍或者更多，我们知道有些变换可以将样本换边到无穷维空间，那么这种变化之后直接是不可求解的。上面的问题可以使用对偶 + 核技巧的组合来解决。

我们也知道，SVM原始形式的对偶问题是：

∑i=1N∑j=1Nαiαjyiyjϕ(xi)Tϕ(xj)−∑i=1Nαi\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}{\alpha_i\alpha_jy_iy_j\phi(x_i)^{T}\phi(x_j)} - \sum_{i=1}^{N}{\alpha_i} i=1∑Nj=1∑Nαiαjyiyjϕ(xi)Tϕ(xj)−i=1∑Nαi s.t.

0≤αi≤C0\leq\alpha_i\leq C0≤αi≤C
∑i=1Nyiαi=0\sum_{i=1}^{N}{y_i\alpha_i} = 0 i=1∑Nyiαi=0

很明显，未知量α\alphaα的个数与样本的个数是相等的，那么这个对偶问题计算的时间复杂度是与训练样本的个数正相关的(这也是为啥样本个数太多的时候不推荐使用带核技巧的SVM的原因)。

仅仅做对偶还没有解决问题，因为在$ \sum_{i=1}^{{N}\sum_{j=1}}{N}{\alpha_i\alpha_jy_iy_j\phi(x_i)^{T}\phi(x_j)} - \sum_{i=1}^{N}{\alpha_i} $ 中还要求ϕ(xi)Tϕ(xj)\phi(x_i)^{T}\phi(x_j)ϕ(xi)Tϕ(xj)，这就需要将样本先变换到高维空间，然后再求在高维空间内的内积，这样的变换还是需要很多计算资源。等等，我们说过核函数的作用是“核函数是二元函数，输入是变换之前的两个向量，其输出与两个向量变换之后的内积相等”，所以我们可以用K(xi,xj)K(x_i,x_j)K(xi,xj)来代替$\sum_{i=1}^{{N}\sum_{j=1}}{N}{\alpha_i\alpha_jy_iy_j\phi(x_i)^{T}\phi(x_j)} - \sum_{i=1}^{N}{\alpha_i} 中的中的中的\phi(x_i)^{T}\phi(x_j)$，避免了显式的特征变换。于是，使用对偶+核技巧，我们成功解决了问题。

5.相关视频地址

SVM
Kernel

原文链接：https://www.zhihu.com/question/24627666
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