多重背包单调队列优化思路_单调队列优化多重背包问题

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6. 多重背包问题 III - AcWing题库www.acwing.com背包九讲bilibiliwww.bilibili.com

闫学灿大神的背包九讲到两种完全背包问题的优化算法，第一种是通过二进制拆包将时间复杂度从N*S*M降低到N*logS*M。第二种是通过单调队列将算法的时间复杂度进一步降到N*M。不过视频讲解太快，思路没跟上来。核心代码就四五行，但是没有理解思路的话是很难看懂的，我花了一天时间才算看明白。网络上找到的资料要么排版太差，要么就是符号不一致，看起来很费力，所以干脆自己整理一份资料。

设N表示有多少种物品，C[i]记录每种物品的容量，W[i]记录每种物品的价值，S[i]记录每种最多能放多少个，M表示背包的容量。如果是一路看大雪菜视频过来的话，很容易得到状态转移方程：

从公式中可以看出f[j]和f[j+c]都是从s+1个数里面取最大值，计算f[j+c]时只是将滑动窗口右移了一步，类似下图的效果：

只不过移动的时候，前面的s个元素都增加了w，每个元素加上相同的数不影响计算最大值。使用单调队列可以在O(N)时间复杂度下找到所有滑动窗口的最大值，关于单调队列处理滑动窗口的问题可以看看这篇文章：

labuladong：特殊数据结构：单调队列zhuanlan.zhihu.com

容易知道f[j]的计算只依赖于g[k]，其中j%c = k%c。因此可以将g[0~m]按%c的余数进行分类:

g[0],g[c],g[2c],g[3c],...

g[1],g[1+c],g[1+2c],g[1+3c],...

...

g[c-1],g[2c-1],g[3c-1],g[4c-1]...

每个分类可以计算出：

f[0],f[c],f[2c],f[3c],...

f[1],f[1+c],f[1+2c],f[1+3c],...

...

f[c-1],f[2c-1],f[3c-1],f[4c-1]...

从而整个f[0~m]都能计算出来。

上面的讲解可能有点啰嗦，归纳起来就两点：

需要将所有状态按照%c的余数进行分类，每个分类可以计算出下一层对应的分类
计算下一层对应分类的过程类似于滑动窗口取最大值，利用单调队列可以实现O(N)的时间复杂度

综上所述，C++代码如下：

#include <iostream>
#include <deque>
#include <vector>
#include <algorithm>using namespace std;int main() {int n, m;cin >> n >> m;deque<int> q;vector<int> f(m + 1), g(m + 1);for (int i = 0; i < n; ++i) {int c, w, s;cin >> c >> w >> s;swap(f, g);for (int j = 0; j < c; ++j) {q.clear();for (int k = j; k <= m; k += c) {f[k] = g[k];if (!q.empty() && k - s * c > q.front()) q.pop_front(); // 最多s+1个元素，超出个数限制则移除队首元素if (!q.empty()) f[k] = max(f[k], g[q.front()] + (k - q.front()) / c * w); // 队首肯定是最大的while (!q.empty() && g[q.back()] + (k - q.back()) / c * w <= g[k]) q.pop_back(); //将k压入队列前，先把所有比它小的出队q.push_back(k);}}}cout << f[m] << endl;return 0;
}

遗憾的是居然超时了。。。。。主要是因为deque.clear()太频繁了，每次clear都会清空内存，也不存在lazy clear的API。没办法只能用数组模拟队列了。最终提交通过的代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>using namespace std;int main() {int n, m;cin >> n >> m;int q[20010];vector<int> f(m + 1), g(m + 1);for (int i = 0; i < n; ++i) {int c, w, s;cin >> c >> w >> s;swap(f, g);for (int j = 0; j < c; ++j) {int hh = 0, tt = -1;for (int k = j; k <= m; k += c) {f[k] = g[k];if (hh <= tt && k - s * c > q[hh]) ++hh; // 最多s+1个元素，超出个数限制则移除队首元素if (hh <= tt) f[k] = max(f[k], g[q[hh]] + (k - q[hh]) / c * w); // 队首肯定是最大的while (hh <= tt && g[q[tt]] + (k - q[tt]) / c * w <= g[k]) --tt; //将k压入队列前，先把所有比它小的出队q[++tt] = k;}}}cout << f[m] << endl;return 0;
}

说实话，这种第一次不照着答案敲是很难写对的，不过思路明白了下次写就容易很多了。

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