「管理数学基础」1.1 矩阵理论：线性变换及其矩阵表示

是否构成RRR上的线性空间
基之间的过渡矩阵
是否是线性变换

是否构成RRR上的线性空间

判断封闭：

x1,x2∈Rx_1, x_2 \in Rx1,x2∈R，有x1+x2∈Rx_1+x_2 \in Rx1+x2∈R，以及kx1∈Rkx_1 \in Rkx1∈R，其中k∈Rk \in Rk∈R

如何判断是否构成X上的线性空间？由定义：

加法运算“+”满足：对x,y∈Xx,y\in Xx,y∈X，x+y∈Xx+y\in Xx+y∈X，且
- 交换律：x+y=y+xx+y=y+xx+y=y+x
- 结合律：对任意z∈Xz\in Xz∈X，(x+y)+z=x+(y+z)(x+y)+z=x+(y+z)(x+y)+z=x+(y+z)
- 有零元：存在0∈X0\in X0∈X，使得对一切x∈Xx\in Xx∈X，有x+0=xx+0=xx+0=x（000称为XXX的零元素）这条一般被作为反例，直接用于判断不成立
- 有负元：对任意x∈Xx\in Xx∈X，存在y∈Xy\in Xy∈X，使x+y=0x+y=0x+y=0（yyy称为xxx的负元素）
数乘元素“·”满足：对任意α∈K\alpha \in Kα∈K（KKK为实数域RRR或复数域CCC），x∈Xx \in Xx∈X，αx∈X\alpha x \in Xαx∈X，且：
- 对任意的β∈K\beta \in Kβ∈K，α(βx)=(αβ)x\alpha (\beta x) = (\alpha \beta)xα(βx)=(αβ)x
- 1⋅x=x1 \cdot x = x1⋅x=x
- 对任意的y∈Xy \in Xy∈X，α(x+y)=αx+αy\alpha(x + y) = \alpha x + \alpha yα(x+y)=αx+αy
- 对任意的β∈K\beta \in Kβ∈K，(α+β)x=αx+βx(\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x(α+β)x=αx+βx

例题： 判断下列集合对于所指运算是否为（RRR上的）线性空间（RnR^nRn的子空间）。

（1）分量之和等于0的nnn维向量的全体，对向量加和数乘
（2）分量之和等于1的nnn维向量的全体，对向量加和数乘

解：

分析：

是否封闭？
分别满足加法与乘法的四个条件？

基之间的过渡矩阵

[ϵ1,...,ϵn]=[η1,...,ηn]P[\epsilon_1, ...,\epsilon_n] = [\eta_1, ...,\eta_n]P[ϵ1,...,ϵn]=[η1,...,ηn]P

PPP称为η\etaη到ϵ\epsilonϵ的过渡矩阵。

例题：

解：

分析：

由eee到aaa的过渡矩阵，由a=ePa=ePa=eP定义式可得P=e−1aP=e^{-1}aP=e−1a
在某一坐标系（基）下的坐标，其实际表示的坐标点是[ei]1×i[x]i×1[e_i]_{1\times i}[x]_{i \times 1}[ei]1×i[x]i×1；因此，对于同一坐标点，可以在不同坐标系下建立相等的关系[ei]1×i[x]i×1=[ai]1×i[y]i×1[e_i]_{1\times i}[x]_{i \times 1} = [a_i]_{1\times i}[y]_{i \times 1}[ei]1×i[x]i×1=[ai]1×i[y]i×1

是否是线性变换

映射：T:X→YT: X \rightarrow YT:X→Y
线性映射：线性空间XXX到YYY满足线性的映射，即TTT满足：T(αx+βy)=αTx+βTyT(\alpha x + \beta y) = \alpha T x + \beta T yT(αx+βy)=αTx+βTy
线性变换：Y=XY=XY=X时的线性映射，即T:X→XT: X\rightarrow XT:X→X

例题：

解：

分析：

直接套用定义，是否满足T(αx+βy)=αTx+βTyT(\alpha x + \beta y) = \alpha T x + \beta T yT(αx+βy)=αTx+βTy

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