凸优化第八章几何问题 8.4 极值体积椭圆
8.4 极值体积椭圆
- Lowner-John椭球
- 最大体积内接椭球
- 椭球逼近的效率
Lowner-John椭球
包含集合C的最小体积椭球被成为集合C的Lowner-John椭球,记为,为方便描述的特征,将一般的椭球参数化为
即Euclid球在仿射映射下的原象。可以不是一般性地假设,此时的体积正比于。计算包含C的最小体积椭球的问题可以表述为:
其中,且存在一个隐含约束。目标函数和约束函数都是凸函数,问题是凸问题。
覆盖有限集合的最小体积椭球
考虑改了有限集合的最小体积椭球问题。一个椭球覆盖C当且仅当覆盖起凸包,因此寻找覆盖C的最小体积椭球,相当于寻找多面体的最小体积椭球。于是此问题可以表述为:
其中,且存在一个隐含约束。
最大体积内接椭球
考虑寻找C中具有最大体积的椭球问题,假设C有界且非空。将椭球参数化为单位球在仿射变换下的象:
再一次假设,于是体积正比于,于是问题可以表述为:
其中,于是约束函数可以理解为。
多面体中的最大体积椭球
考虑C是由线性不等式是哟面熟的多面体。于是
于是问题可以表述为
椭球逼近的效率
Lowner-John椭球逼近的效率
令是有界且内部非空的凸集的Lowner-John椭球,是其中心,如果我们讲Lowner-John椭球向起中心收缩比例n,可以得到一个位于C中的椭球:
如上图,外面的椭圆是集合C的Lowner-John椭球的边界,内部的椭球是按比例n=2向中心缩小得到的椭球的边界。可以保证该椭球在集合C内部。
最大体积内接球逼近的效率
如果是凸、有界且内部非空的,那么将最大体积内接椭球对其中心进行扩展n倍将覆盖集合C,如果C关于一点是对称的,那么倍数n可以收紧为
如上图,内部的椭球是最大体积内接椭球,外部的椭圆显示了将内接椭球对其中心扩大n=2倍所得的边界。
来源:https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/87872617
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