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为了方便起见，这些模型通常简称为TAR模型。这些模型捕获了线性时间序列模型无法捕获的行为，例如周期，幅度相关的频率和跳跃现象。Tong和Lim（1980）使用阈值模型表明，该模型能够发现黑子数据出现的不对称周期性行为。

一阶TAR模型的示例：

σ是噪声标准偏差，Yt-1是阈值变量，r是阈值参数， {et}是具有零均值和单位方差的iid随机变量序列。

每个线性子模型都称为一个机制。上面是两个机制的模型。

考虑以下简单的一阶TAR模型：


#低机制参数i1 = 0.3
p1 = 0.5
s1 = 1#高机制参数i2 = -0.2
p2 = -1.8
s2 = 1thresh = -1
delay = 1#模拟数据
y=sim(n=100,Phi1=c(i1,p1),Phi2=c(i2,p2),p=1,d=delay,sigma1=s1,thd=thresh,sigma2=s2)$y#绘制数据plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t',ylab=expression(Y[t])
abline(thresh,0,col="red")

TAR模型框架是原始TAR模型的修改版本。它是通过抑制噪声项和截距并将阈值设置为0来获得的：

框架的稳定性以及某些规律性条件意味着TAR的平稳性。稳定性可以理解为，对于任何初始值Y1，框架都是有界过程。

在[164]中：

#使用不同的起点检查稳定性
startvals = c(-2, -1.1,-0.5, 0.8, 1.2, 3.4)count = 1
for (s in startvals) {ysk[1} else {ysk[i] = -1.8*ysk[i-1]}count = count + 1
}#绘制不同实现
matplot(t(x),type="l"
abline(0,0)

Chan和Tong（1985）证明，如果满足以下条件，则一阶TAR模型是平稳的

一般的两机制模型写为：

在这种情况下，稳定性更加复杂。然而，Chan and Tong（1985）证明，如果

模型估计

一种方法以及此处讨论的方法是条件最小二乘（CLS）方法。

为简单起见，除了假设p1 = p2 = p，1≤d≤p，还假设σ1=σ2=σ。然后可以将TAR模型方便地写为

如果Yt-d> r，则I（Yt-d> r）= 1，否则为0。CLS最小化条件残差平方和：

在这种情况下，可以根据是否Yt-d≤r将数据分为两部分，然后执行OLS估计每个线性子模型的参数。

如果r未知。

在r值范围内进行搜索，该值必须在时间序列的最小值和最大值之间，以确保该序列实际上超过阈值。然后从搜索中排除最高和最低10％的值

在此受限频带内，针对不同的r = yt值估算TAR模型。
选择r的值，使对应的回归模型的残差平方和最小。

#找到分位数
lq = quantile(y,0.10)
uq = quantile(y,0.90)#绘制数据
plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t'abline(lq,0,col="blue")
abline(uq,0,col="blue")

#模型估计数sum( (lq <= y ) & (y <= uq) )

如果d未知。

令d取值为1,2,3，...，p。为每个d的潜在值估算TAR模型，然后选择残差平方和最小的模型。

Chan（1993）已证明，CLS方法是一致的。

最小AIC（MAIC）方法

由于在实践中这两种情况的AR阶数是未知的，因此需要一种允许对它们进行估计的方法。对于TAR模型，对于固定的r和d，AIC变为

然后，通过最小化AIC对象来估计参数，以便在某个时间间隔内搜索阈值参数，以使任何方案都有足够的数据进行估计。

#估算模型
#如果知道阈值#如果阈值尚不清楚#MAIC 方法for (d in 1:3) {if (model.tar.s$AIC < AIC.best) {AIC.best = model.tar.s$AICmodel.best$d = dmodel.best$p1 = model.tar.s
ar.s$AIC, signif(model.tar.s$thd,4)AICM

d	AIC	R	1	2
1	311.2	-1.0020	1	1
2	372.6	0.2218	1	2
3	388.4	-1.3870	1	0

非线性测试

1.使用滞后回归图进行目测。

绘制Yt与其滞后。拟合的回归曲线不是很直，可能表明存在非线性关系。

在[168]中：

lagplot(y)

2.Keenan检验：

考虑以下由二阶Volterra展开引起的模型：

其中{ϵt} 的iid正态分布为零均值和有限方差。如果η=0，则该模型成为AR（mm）模型。

可以证明，Keenan检验等同于回归模型中检验η=0：

其中Yt ^ 是从Yt-1，...，Yt-m上的Yt回归得到的拟合值。

3. Tsay检验：

Keenan测试的一种更通用的替代方法。用更复杂的表达式替换为Keenan检验给出的上述模型中的项η（∑mj = 1ϕjYt-j）2。最后对所有非线性项是否均为零的二次回归模型执行F检验。

在[169]中：

#检查非线性: Keenan, Tsay
#Null is an AR model of order 1
Keenan.test(y,1)

$test.stat90.2589565661567$p.value1.76111433596097e-15$order1

在[170]中：

Tsay.test(y,1)

$test.stat71.34$p.value3.201e-13$order1

4.检验阈值非线性

这是基于似然比的测试。

零假设是AR（pp）模型；另一种假设是具有恒定噪声方差的p阶的两区域TAR模型，即σ1=σ2=σ。使用这些假设，可以将通用模型重写为

零假设表明ϕ2,0 = ϕ2,1 = ... = ϕ2，p = 0。

似然比检验统计量可以证明等于

其中n-p是有效样本大小，σ^ 2（H0）是线性AR（p）拟合的噪声方差的MLE，而σ^ 2（H1）来自TAR的噪声方差与在某个有限间隔内搜索到的阈值的MLE。

H0下似然比检验的采样分布具有非标准采样分布；参见Chan（1991）和Tong（1990）。

在[171]中：

res = tlrt(y, p=1, d=1, a=0.15, b=0.85)
res

$percentiles14.185.9
$test.statistic: 142.291963130459$p.value: 0

模型诊断

使用残差分析完成模型诊断。TAR模型的残差定义为

标准化残差是通过适当的标准偏差标准化的原始残差：

如果TAR模型是真正的数据机制，则标准化残差图应看起来是随机的。可以通过检查标准化残差的样本ACF来检查标准化误差的独立性假设。

#模型诊断diag(model.tar.best, gof.lag=20)

预测

预测分布通常是非正态的。通常，采用模拟方法进行预测。考虑模型

然后给定Yt = yt，Yt-1 = yt-1，...

因此，可以通过从误差分布中绘制et + 1并计算h（yt，et + 1），来获得单步预测分布的Yt + 1的实现。。

通过独立重复此过程 B 次，您可以从向前一步预测分布中随机获得B值样本。

可以通过这些B 值的样本平均值来估计提前一步的预测平均值。

通过迭代，可以轻松地将仿真方法扩展为找到任何l步提前预测分布：

其中Yt = yt和et + 1，et + 2，...，et + l是从误差分布得出的ll值的随机样本。

在[173]中：

#预测
model.tar.pred r.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)
y.pred = ts(c
lines(ts(model.tar.pred$pred.interval[2,], start=end(y) + c(0,1), freq=1), lty=2)
lines(ts(model

样例

这里模拟的时间序列是1700年至1988年太阳黑子的年数量。

在[174]中：

#数据集
#太阳黑子序列，每年plot.ts(sunsp

#通过滞后回归图检查非线性
lagplot(sunspo)

#使用假设检验检查线性
Keenan.test(sunspot.year)
Tsay.test(sunspot.year)

$test.stat18.2840758932705$p.value2.64565849317573e-05$order9$test.stat3.904$p.value6.689e-12$order9

在[177]中：

#使用MAIC方法
AIC{sunspot.tar.s = tar(sunspot.year, p1 = 9, p2 = 9, d = d, a=0.15, b=0.85)AICM

d	AIC	R	1	2
1	2285	22.7	6	9
2	2248	41.0	9	9
3	2226	31.5	7	9
4	2251	47.8	8	7
5	2296	84.8	9	3
6	2291	19.8	8	9
7	2272	43.9	9	9
8	2244	48.5	9	2
9	2221	47.5	9	3

在[178]中：

#测试阈值非线性
tl(sunspot.year, p=9, d=9, a=0.15, b=0.85)

$percentiles1585
$test.statistic: 52.2571950943405$p.value: 6.8337179274236e-06

#模型诊断
tsdiag(sunspot.tar.best)

#预测
sunspot.tar.pred <- predict(sunspot.tar.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)lines(ts(sunspot.tar.pred$pretart=e

#拟合线性AR模型
#pacf(sunspot.year)
#尝试AR阶数9
ord = 9
ar.mod <- arima(sunspot.year, order=c(ord,0,0), method="CSS-ML")plot.ts(sunspot.year[10:289]

模拟TAR模型上的AR性能

示例1. 将AR（4）拟合到TAR模型

set.seed(12349)
#低机制参数
i1 = 0.3
p1 = 0.5
s1 = 1#高机制参数
i2 = -0.2
p2 = -1.8
s2 = 1thresh = -1
delay = 1nobs = 200
#模拟200个样本
y=sim(n=nobs,Phi1=c(i1,p1),Phi$y#使用Tsay的检验确定最佳AR阶数
ord <- Tsay.test(y)$order#线性AR模型
#pacf(sunspot.year)
#try AR order 4

例子2. 将AR（4）拟合到TAR模型

例子3. 将AR（3）拟合到TAR模型

例子3. 将AR（7）拟合到TAR模型

参考文献

恩德斯（W. Enders），2010年。应用计量经济学时间序列

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