线性时间选择

（一）题目

问题描述

给定线性序集中nnn个元素和一个正数kkk，1≤k≤n1\leq k\leq n1≤k≤n，要求找出这nnn个元素中第kkk小的元素

注意：nnn中的元素不重复

（二）解答

1.RandomizedSelect算法

算法思路

在数组a[p:r]a[p:r]a[p:r]中随机找一个数iii将数组划分成两个子数组a[p:i]a[p:i]a[p:i]和a[i+1:r]a[i+1:r]a[i+1:r]，如果数组a[p:r]a[p:r]a[p:r]的长度小于等于kkk，说明第kkk小的数在这个数组，将其递归，否则递归数组a[i+1:r]a[i+1:r]a[i+1:r]，直到 p=rp=rp=r，数组被分割成只剩下一个元素，该元素就是第kkk小的元素。

举例

源代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<random>using namespace std;int n, k, len;//将数组数组首元素a[p]作为基准数将数组分割
int Partition(int a[], int p, int r);
//交换两个元素
void Swap(int &a, int &b);
//在数组中随机选择一个数将数组分割
int RandomizedPartition(int a[], int p, int r);
//产生随机数
int Random(int x, int y);
//线性划分
int RandomizedSelect(int a[], int p, int r, int k);int main()
{//输入数组长度ncin>>n;//输入数组int *a = new int[n];for (int i = 0; i < n; ++i){cin>>a[i];}//输入第k小cin>>k;//找第k小并返回int res = RandomizedSelect(a, 0, n - 1, k);cout<<res<<endl;delete []a;return 0;
}int Partition(int a[], int p, int r)
{//i指向首元素，j指向尾元素的下一个元素int i = p, j = r + 1;//将首元素作为基准数int x = a[p];while (1){//i从基准数右边的元素开始找，直到找到第一个大于等于基准数的元素while (a[++i] < x && i < r);//j从尾元素开始找，直到找到第一个小于等于基准数的元素while (a[--j] > x);//若i>=j，说明基准数的位置已找到，为jif (i >= j){break;}//交换两个元素，使得基准数左边的数均不大于它，右边的数均不小于它Swap(a[i], a[j]);}//将基准数归位a[p] = a[j];a[j] = x;//返回基准数的位置return j;
}void Swap(int &a, int &b)
{int temp;temp = a;a = b;b = temp;
}int RandomizedPartition(int a[], int p, int r)
{//在p和r之间找一个随机数int i = Random(p, r);Swap(a[i], a[p]);return Partition(a, p, r);
}int Random(int x, int y)
{return x + rand() % (y - x);
}int RandomizedSelect(int a[], int p, int r, int k)
{//数组被分割成只剩下一个元素，该元素就是第k小的元素if (p == r){return a[p];}//在数组中随机找一个数将数组分割，分成小于等于该基准的数组和大于该基准的数组int i = RandomizedPartition(a, p, r);//求较小数数组的长度len = i - p + 1;//若较小数数组的长度小于等于k，说明第k小的元素在这个数组内，将其递归if (k <= len){return RandomizedSelect(a, p, i, k);}//否则，说明第k小的元素在较大数数组，将其递归else{return RandomizedSelect(a, i + 1, r, k - len);}
}

2.Select算法

算法思路

将原数组分成⌈n5⌉\lceil\frac{n}{5}\rceil⌈5n⌉组，每组有5个元素（最后一个数组的元素个数可能不等于5，）将这5个元素排序后找到其中位数并将中位数置于每组的开头，递归调用Select算法找到各组中位数的中位数作为划分基准x（⌈n5⌉\lceil\frac{n}{5}\rceil⌈5n⌉为奇数时找其中位数，为偶数时找其中位数中较大的那个），划分后的处理与RandomizedSelect算法相同。

举例

源代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<random>using namespace std;int n, k, len;//选择排序
void SelectSort(int a[], int p, int r);
//将x作为基准数将数组分割，返回x的位置
int Partition(int a[], int p, int r, int x);
//交换两个元素
void Swap(int &a, int &b);
//找每组的中位数,返回中位数的位置i
int SearchMid(int a[], int p, int r);
//线性划分
int Select(int a[], int p, int r, int k);int main()
{//输入数组长度ncin>>n;//输入数组int *a = new int[n];for (int i = 0; i < n; ++i){cin>>a[i];}//输入第k小cin>>k;//找第k小并返回int res = Select(a, 0, n - 1, k);cout<<res<<endl;delete []a;return 0;
}void SelectSort(int a[], int p, int r)
{for (int i = p; i < r; ++i){int index = i;for (int j = i + 1; j <= r; ++j){if (a[j] < a[index]){index = j;}}Swap(a[i], a[index]);}
}int Partition(int a[], int p, int r, int x)
{//i指向首元素的前一个位置，j指向尾元素的后一个位置int i = p - 1, j = r + 1;while (1){//i从基准数右边的元素开始找，直到找到第一个大于等于基准数的元素while (a[++i] < x && i < r);//j从尾元素开始找，直到找到第一个小于等于基准数的元素while (a[--j] > x && j > p);//若i>=j，说明基准数的位置已找到，为jif (i >= j){break;}//交换两个元素，使得基准数左边的数均不大于它，右边的数均不小于它Swap(a[i], a[j]);}//返回基准数的位置return j;
}void Swap(int &a, int &b)
{int temp;temp = a;a = b;b = temp;
}int SearchMid(int a[], int p, int r)
{//建立与数组a同等大小的数组bint *b = new int[r - p + 1];//用数组b存放数组a（注意此时b的首地址为0，而a的首地址为p）for (int i = p; i <= r; ++i){b[i - p] = a[i];}//将数组b排序，b[(r-p+1)/2]为中位数SelectSort(b, 0, r - p);for (int i = p; i <= r; ++i){if (a[i] == b[(r - p + 1) / 2]){return i;}}delete []b;return 0;
}int Select(int a[], int p, int r, int k)
{if (r - p < 5){SelectSort(a, p, r);return a[p + k - 1];}//分成n/5组，每组5个，找到每组的中位数并将它放到数组首元素的位置for (int i = 0; i <= (r - p - 4) / 5; ++i){int mid = SearchMid(a, p + 5 * i, p + 5 * i + 4);Swap(a[mid], a[p + i]);}//找到各组中位数的中位数int x = Select(a, p, p + (r - p - 4) / 5, (r - p - 4) / 10 + 1);//按照中位数划分int i = Partition(a, p, r, x);//求较小数数组的长度len = i - p + 1;//若较小数数组的长度小于等于k，说明第k小的元素在这个数组内，将其递归if (k <= len){return Select(a, p, i, k);}//否则，说明第k小的元素在较大数数组，将其递归else{return Select(a, i + 1, r, k - len);}
}

（三）总结

复杂度分析

1.RandomizedSelect算法

对于RandomizedSelect算法，该算法划分的基准是随机的，最好情况下的时间复杂度为O(n)\Omicron(n)O(n)，而最坏情况下的时间复杂度为O(n2)\Omicron(n^2)O(n2)，但这种情况在随机划分的过程中发生的的概率极小，因此RandomizedSelect算法的平均时间复杂度为O(n)\Omicron(n)O(n)。

2.Select算法

对于Select算法，该算法划分的基准是固定的，若能在线性时间内找到一个划分基准，使得按这个基准划分的两个子数组长度均至少为原数组长度的倍（0<ε\varepsilonε<1）,那么在最坏情况下，Select算法的时间复杂度也为O(n)\Omicron(n)O(n)。

例如：当ε=910\varepsilon=\frac{9}{10}ε=109时，算法递归调用产生的2个子数组的长度至少缩短110\frac{1}{10}101。因此，在最坏情况下，算法所需的计算时间T(n)T(n)T(n)满足T(n)≤T(9n10)+O(n)T(n)\leq T(\frac{9n}{10})+\Omicron(n)T(n)≤T(109n)+O(n)，解得T(n)=O(n)T(n)=\Omicron(n)T(n)=O(n)

在线性时间内找到一个划分基准，使得按这个基准划分的两个子数组长度均至少为原数组长度的ε\varepsilonε倍（0<ε\varepsilonε<1）,那么在最坏情况下，Select算法的时间复杂度也为O(n)\Omicron(n)O(n)。

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