高斯消元法（二）：高斯消元法原理

高斯消去法是一种常用的求解线性方程组的方法，通过逐次消元后，在回代求解，实际计算中常用的一种方法。

顺序消去法

将Ax=b按照从上至下、从左至右的顺序化为上三角方程组，中间过程不对矩阵进行交换，主要步骤如下。

STEP1:

将第2行至第n行，每行分别与第一行做运算，消掉每行第一个参数。公式如：

形成如下图所示新矩阵：

STEP2:

从新矩阵的a22开始（a22不能为0），以第二行为基准，将第三行至第n行分别与第二行做运算，消掉每行第二个参数。

公式如：，形成如下图所示新矩阵：

STEP K：

按照上述方法，当第k步运算时，公式为：

运算前后的矩阵为：

STEP (n-1):

经过 n-1 步，方程组也就转化为了我们希望得到的上三角方程组，如下：

再通过回代过程即可求解 X1至 Xn 的值。

顺序消去法计算量

消去过程：

回代过程：

总运算量：

顺序消去法虽然编程操作简单，但是存在以下两方面限制：

（1）每次运算时，必须保证对角线上的元素不为0（即运算中的分母不为0），否则算法无法继续进行。

（2）即使a(kk)的值不为零，但如果绝对值很小，由于第k次运算中a(kk)在分母位置，因此作除数会引起很大的误差，从而影响算法的稳定性。

正是由于顺序消去法会因为 a(kk) 的值过小而引入计算误差，为了减少计算过程中舍入误差对方程组求解的影星，因此是否可以选择绝对值尽可能大的 a(kk) 主元作为除数，基于这种思想就有了高斯消去法的改进型：列主元消去法和全主元消去法。

列（全）主元消去法

基本思想：

在第k步消元钱，找出k行下所有第k列元素最大的非零元素 a(pk)，将第 p 行与第 k行进行整行交换，这样既不影响原方程的解，也可以将绝对值最大的a(pk)作为主元，放在处暑的位置上，尽可能减小引入误差。

全主元消除法与列主元消除法类似，只不过列主元消除法是从第k列中选取一个最大的元素，与第k行进行交换。而全主元消除法释从第k行第k列开始的右下角矩阵中所有元素中选取一个最大的元素作为主元，同时交换p行与q列，从而保证稳定性。

如下面这个列主元消去法的例子：

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