最大公约数的几种基本求解方法

给定两个数a,b,若a>b，求解他们的最大公约数

方法1.试除法:由于最大公约数r满足1<=r<=b,并且有a%r=0，b%r=0。因此只要从r=b开始试除，若满足条件，则此时r为最大公约数，否则r自减1即可。若r自减到1，则1为最大公约数。

代码实现:

#include <stdio.h>int is_Gcd(int a,int b,int r)
{if (a % r == 0 && b % r == 0)return r;elsereturn is_Gcd(a,b,r-1);
}
int main()
{int a = 0;int b = 0;scanf("%d %d", &a, &b);int r= a<b?a:b;printf("%d和%d的最大公约数是%d",a,b,is_Gcd(a, b, r));return 0;
}

方法2.辗转相除法: 1.若a%b=0，显然，b为最大公约数。2.若a%b!=0，则令a=b,b=a%b,接着a%b，若a%b=0,则此时的b为最大公约数，否则令继续令a=b，b=a%b......如此循环往复，直到a%b=0,b为最大公约数。即-若f(a,b)为a，b的最大公约数，a%b!=0且b%(a%b)!=0,则有f(a,b)=f(b,a%b)。

代码实现:

#include <stdio.h>int is_Gcd(int a,int b)
{if (a % b == 0)return b;elsereturn is_Gcd(b, a % b);
}
int main()
{int a = 0;int b = 0;scanf("%d %d", &a, &b);printf("%d和%d的最大公约数是%d", a, b, is_Gcd(a, b));return 0;
}

但是如果a<b怎么办呢，不难发现，若a<b,则传入a=b,b=a%b后，a和b的值恰好交换，因此此时代码执行逻辑也是没问题的。

方法3.更相减损术:1.判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简,计数约简次数n；若不是则执行第二步。2.若a>b，则a-b=c，此时若b=c，则b*()为最大公约数。否则令a=max(b,c) , b=min(b,c) ，接着a-b=c.......直到满足b=c,此时b*()为最大公约数。

代码实现:

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int is_Gcd2(int a,int b);//函数声明int is_Gcd1(int a,int b)
{float flag = 0;while (a % 2 == 0 && b % 2 == 0){a /= 2;b /= 2;flag++;}return (int)pow(2, flag) * is_Gcd2(a,b);
}
int is_Gcd2(int a, int b)
{if (a < b){int tmp = 0;tmp = a; a = b; b = tmp;}    //保证a>bif (b == a - b)return b;elsereturn is_Gcd2(b, a - b);
}
int main()
{int a = 0;int b = 0;scanf("%d %d", &a, &b);printf("%d和%d的最大公约数是%d", a, b, is_Gcd1(a, b));return 0;
}

补充：求解最小公倍数-若给定数字a，b ，其最大公约数为p，最小公倍数为q，有a*b=p*q。因此只需求解最大公约数，则可得最小公倍数

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