小白理解k-svd算法

小白理解k-svd字典学习

一、字典学习

字典学习也可简单称之为稀疏编码，字典学习偏向于学习字典D。从矩阵分解角度，看字典学习过程：给定样本数据集Y，Y的每一列表示一个样本；字典学习的目标是把Y矩阵分解成D、X矩阵：

同时满足约束条件：X尽可能稀疏，同时D的每一列是一个归一化向量。

D称之为字典，D的每一列称之为原子；X称之为编码矢量、特征、系数矩阵；字典学习可以有三种目标函数形式

(1)第一种形式：

这种形式因为L0难以求解，所以很多时候用L1正则项替代近似。

(2)第二种形式：

ε是重构误差所允许的最大值。

(3)第三种形式：

L是一个常数，稀疏度约束参数，上面三种形式相互等价。

因为目标函数中存在两个未知变量D、X，K-svd是字典学习的一种经典算法，其求解方法跟lasso差不多，固定其中一个，然后更新另外一个变量，交替迭代更新。

如果D的列数少于Y的行数，就相当于欠完备字典，类似于PCA降维；如果D的列数大于Y的行数，称之为超完备字典；如果刚好等于，那么就称之为完备字典。假设现在有了一个N*T的过完备字典 D（比如前面所述图像傅里叶变换的所有频率的波），一个要表示的对象y（要还原的图像），求一套系数x，使得y=Dx，这里y是一个已知的长为N的列向量，x是一个未知的长为T的列向量，解方程。

这是一个T个未知数，N个方程的方程组，T>N，所以是有无穷多解的，线性代数中这样的方程很熟悉了。

上面我就随便举了个N=5, T=8的例子，用来随便感受下。

⎥

这里可以引出一个名词，ill-posed problem（不适定问题），即有多个满足条件的解，无法判断哪个解更加合适，这是更“落地”的应用场景，inverse problem（逆问题），比如图像去噪，从噪声图中提取干净图。于是需要做一个约束。

增加限制条件，要求x尽可能稀疏，怎么“稀疏”呢？就是x的0尽可能多，即norm(x, 0)（零范数：非0元素个数）尽可能小。这样就有唯一解了吗？也还不是，如何能“约束”出各位合适的解，如何解，正是稀疏表示所研究的重点问题。比如后来有证明D满足一定条件情况下x满足norm(x,1)即可还原原始数据等，这有不少大神开启这个领域的故事这里就不讲了。

二、k-svd字典学习算法概述

给定训练数据Y，Y的每一列表示一个样本，我们的目标是求解字典D的每一列(原子)。关于它为什么叫做k-svd，当然是其中综合了k-means 和SVD 的思想。k-means 常用于聚类分类，具体的步骤如下：
（1）在样本集中随机挑选k个样本作为质心，即随机初始化k个原子，此步骤可视为字典的初始化。
（2）通过计算样本与质心之间的距离，样本类别化为最近的质心所对应的类别，就是，离谁近，则化为谁的类。此步骤可视为稀疏矩阵的初始化，只不过对应系数矩阵的每一列只有一项不为0，其余均为0，不为0的一项的索引便是我们样本对应的类别。
（3）通过划分好的类别来重新计算每类样本的质心。此步便是原子矩阵的优化。
（4）根据新计算得来的质心重新分类(原子矩阵，即字典的每个列向量则可看做是一个质心)。此步便是稀疏矩阵的优化。
（5）直至两步质心(原子矩阵)相差少于规定的阈值，便停止优化。

k-svd 字典学习的步骤如下：

1、随机初始化字典D(类似k-means一样初始化)

从样本集Y中随机挑选k个样本，作为D的原子；并且初始化编码矩阵X为0矩阵。

2、固定字典，求取每个样本的稀疏编码

编码过程采用如下公式：

ε是重构误差所允许的最大值。

假设我们的单个样本是向量y，为了简单起见我们就假设原子只有这4个，也就是字典D=[α1、α2、α3、α4]，且D是已经知道的；我们的目标是计算y的编码x，使得x尽量的稀疏。

(1)首先从α1、α2、α3、α4中找出与向量y最近的那个向量，也就是分别计算点乘：

α1*y、α2*y、α3*y、α4*y

然后求取最大值对应的原子α。

(2)假设α2*y最大，那么我们就用α2，作为我们的第一个原子，然后我们的初次编码向量就为：

x1=（0,b,0,0）

b是一个未知参数。

(3)求解系数b：

y-b*α2=0

方程只有一个未知参数b，是一个高度超静定方程，求解最小二乘问题。

(4)然后我们用x1与α2相乘重构出数据，然后计算残差向量：

y’=y-b*α2

如果残差向量y’满足重构误差阈值范围ε，那么就结束，否则就进入下一步；

(5)计算剩余的字典α1、α3、α4与残差向量y’的最近的向量，也就是计算

α1*y’、α3*y’、α4*y’

然后求取最大值对应的向量α，假设α3*y’为最大值，那么就令新的编码向量为：

x2=（0,b,c,0）

b、c是未知参数。

(6)求解系数b、c,于是我们可以列出方程：

y-b*α2-c*α3=0

方程中有两个未知参数b、c，我们可以进行求解最小二乘方程，求得b、c。

(7)更新残差向量y’：

y’=y-b*α2-c*α3

如果y’的模长满足阈值范围，那么就结束，否则就继续循环，就这样一直循环下去。

3、逐列更新字典、并更新对应的非零编码

通过上面那一步，我们已经知道样本的编码。接着我们的目标是更新字典、同时还要更新编码。K-svd采用逐列更新的方法更新字典，就是当更新第k列原子的时候，其它的原子固定不变。假设我们当前要更新第k个原子αk，令编码矩阵X对应的第k行为xk，则目标函数为：

上面的方程，我们需要注意的是xk不是把X一整行都拿出来更新（因为xk中有的是零、有的是非零元素，如果全部抽取出来，那么后面计算的时候xk就不再保持以前的稀疏性了），所以我们只能抽取出非零的元素形成新的非零向量，然后Ek只保留xk对应的非零元素项。

K-SVD和MOD最大的不同在于，每次只更新字典的一个原子（即D的一列），而不是每次用一个x更新整个D。

回忆下前面的y=Dx，但是学一个字典，当然不能只用一个数据，现在来升级版：
Y = DX
哈？小写变大写？意思是一组y和其对应的一组x，那么Y和X指的矩阵。

现在要更新字典D的第k个原子，也就是第k列，它能影响到的是Y的第k行，同样对应D的第k列的系数，也是X的第k行。

目标函数的转化：

Ek 是去掉原子 dk 的 D 中的误差，于是目标函数转化为 D 的其他列固定，要更新的 dk 使全局误差（ ∥Y−DX∥ ）最小化。即可得到字典的第k个原子。求解这里的 Dk, xkT ，就用到对 E 的SVD分解了。

但是直接分解 E 得到的 xkT 并不稀疏。

更新字典和稀疏系数是迭代进行的，在“本次”迭代中，找到“上次”迭代中哪些Y用到了字典D的原子k，也就是X的第k行哪些元素不为0，x1k, x2k, x3k, x4k 里，假设 x1k, x3k 不为0，那么对应的Y的1,3列就是用到了D的原子k的信号（Y的每列是一个信号）。现在把它们拆出来：

这样得到只保留非零位置的X、D计算目标函数后得到的只保留对应位置的 Ektemp ，对这个 Ektemp 再做SVD分解，Ektemp = UΣVT， U 的第一列即为新的 $\widetilde{d}_{k}$， V 的第一列与 Σ(1, 1) 的乘积为新的 $\widetilde{x}^{T}_{k}$ 。

逐列更新得到新字典 $\widetilde{D}$

然后算法就在1和2之间一直迭代更新，直到收敛。

参考文献

http://blog.csgrandeur.com/blogs/20170323-ksvd-and-denoising

http://blog.csdn.net/hjimce/article/details/50810129

https://blog.csdn.net/weixin_41469272/article/details/81944385?utm_source=copy

字典学习的K － SVD 算法分析

K-SVD: An Algorithm for Designing Overcomplete
Dictionaries for Sparse Representation Dictionaries for Sparse Representation

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