汉诺塔问题的递归算法和非递归算法分析

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问题描述

相传在古印度圣庙中，有一种被称为汉诺塔(Hanoi)的游戏。该游戏是在一块铜板装置上，有三根杆(编号A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按顺序放置n个金盘（依次标号1到n）。游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并仍保持原有顺序叠好。操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上。

问题分析（递归算法）

如果A杆上只有一个盘子，则直接将盘子从A杆移至C杆即可。

如果A上有2个盘子，则需要先把1号盘子挪到辅助杆B上，再把2号盘挪到目标杆C上，最后把B杆上的1号盘挪到C杆上即可完成。
A杆上的盘子数目逐渐增加到n，我们无法直观的得到结果。于是想到将n个盘子看做两部分，一个部分为上层的(n-1)个盘子，另一个部分为最底下的一个盘子。

于是，三步就可以完成移动：
①借助C杆将（n-1）个盘子从A杆移动到B杆；

②把n号盘子从A杆移到C杆

③借助A杆把（n-1）个盘子从B杆移到C杆

递归算法：

#include <iostream>
using namespace std;    void hanoi( char A, char B, char C, int n){if(n>0){hanoi(A, C, B, n - 1);    //将(n-1)个盘子从A移至Bcout <<n<<" from "<< A << " to " << C << endl;  //将最底下的一个盘子从A移到Chanoi(B, A, C, n - 1);  //把(n-1)个从B移至C}
}int main()
{int n;char a='A',b='B',c='C';cin>>n;hanoi(a,b,c,n);
}

时间复杂度分析

当规模为n时时间函数为T(n)，在代码中，两次调用规模为（n-1）的汉诺塔函数，还有一次输出语句，运算时间为常数n，所以时间函数为T(n)=2*T(n-1)+1。

最后求得递归算法的时间复杂度为O(2ⁿ)。

问题分析（非递归算法）

举个例子，当n=3时。因为是奇数，所以杆的摆放顺序为ACB。之后循环进行两步操作。如下图所示：

图片右上角是用这种规律移动的步骤，可验证与用递归算法移动的步骤完全相同。

代码实现

#include<iostream>
#include <stack>
using namespace std;char s[4] = { '0','A','B','C'};
stack<int> a[4];void move(int now,int next){ //用来移动的函数 a[next].push(a[now].top());printf("%d from %c to %c\n", a[now].top(),s[now], s[next]);a[now].pop();
}int main() {int  n;cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++)a[1].push(n - i);//把盘子从大到小入栈 if (n%2 == 1) {//如果n为奇数则杆的排列顺序为ACB s[2] = 'C'; s[3] = 'B';}while (1) {int next;//用来记录第一步中的下一个杆； for(int i=1;i<=3;i++)//将最小圆盘移动到下一个杆上if(!a[i].empty()){if(a[i].top()==1){if(i==3) next=1;else next=i+1;move(i,next);//移动 break;}}if(a[2].size()==n || a[3].size()==n) break;int other1,other2;//记录第二步中的另外两个杆 switch(next){case 1:{other1=2;other2=3;break;}case 2:{other1=3;other2=1;break;}case 3:{other1=1;other2=2;break;}}if(a[other1].empty())//移动到空杆 move(other2,other1);  else if(a[other2].empty())move(other1,other2);else{if(a[other1].top()<a[other2].top())// 把较小的那个圆盘移动到较大的那个圆盘上move(other1,other2);else move(other2,other1);    }}
}

可证明非递归算法的时间复杂度也是O(2ⁿ)，再次证明了汉诺塔问题的递归算法和非递归算法其实是一回事。
但是严格的证明应该采用数学归纳法，我不会，就不说了。
汉诺塔问题的递归和非递归算法