RS（255,223）纠错算法原理与项目源码

##1.背景

数据在网络传输、存储过程中由于信道噪声条件，硬件设备等问题数据产生了差错，这时候应该如何处理呢？特别是现在企业对海量大数据的传输，存储的重视，要求我们使用一定的技术处理这些数据差错。
##2.纠错编解码原理简单介绍
为什么纠错码具有发现错误!纠正错误的能力呢?纠错码又是按什么样的原理去编的呢?为了说明这些问题,我们首先介绍一些基本概念:由0和1组成的串称为字(Word),一些字的集合称为码(Code)。码中的字称为码字(Code Word)。不在码中的字称为废码(Invalid Code)。码中的每个二进制信号0或1称为码元(Code Letter)。
我们下面举出几个关于纠错码的例子。设有长度为2的字,它们一共可有2x2=4个,力。因为当52中的一个字如10,在传递过程中其第一个码元1变为0,因而整个字成为00时,由于00也是52中的字,故我们不能发现传递中是否出错。但是,当我们选取52的一个子集如C2={00},作为编码时就会发生另一种完全不同的情况。因为此时01和10均为废码,而当H在传递过程中第一个码元由1变为0,即整个字成为01时,由于01是废码,因而我们发现传递过程中出现了错误。对00也有同样的情况。但是,这种编码有一个缺点,即它只能发现错误而不能纠正错误,因此我们还需要选择另一种能纠错的编码"现在我们考虑长度为3的字,它们一共可有2!3=8个,它们所组成的字集凡不仅能整个码字只会变为101!011或000,但是都可知其原码为001。对于码字110也有类似的情况"故对编码q,我们不仅能发现错误而且能纠正错误"当然,上述编码还有一个缺点,就是它只能发现并纠正单个错误。当错误超过两个码元时,它就既不能发现错误,更无法纠正了。
##3.Reed-Solomon 码（RS 码）原理
Reed-Solomon 码（RS 码）是 Reed和 Solomon于 1960 年发现的一类多元最大距离可分（MDS）码，其最小距离达到了 Singleton 限mind = n − k+ 1，从这个意义上讲，RS 码是最佳的。之后几十年里，RS 码的硬判决译码得到了深入的研究，其理论和技术都已经非常成熟。因而，RS码在现代数字通信、数据存储系统中得到了广泛的应用。
##4.Reed – Solomon编码抽象代数基础
4.1定义设G是一个非空集合，称映射为G上的一个二元运算，即对于G中仍以两个元a和b，唯一确定 (a,b).记为,为了方便起见，可写成c=ab.
定义设G是一个非空集合，是G上的一个二元运算，如果G满足下列条件：
a)（结合律）对于任意,有
b)（单位元）G中存在单位元，对于任意，满足
c)（逆元）对于任意，存在的逆元，满足
则称G为群，记为.
如果群满足交换律，即对于任意，满足
则称群为交换群或阿贝尔群.
4.2 环和域
定义设R是一个非空集合，R上有两个二元运算和，分别成为加法和乘法，如果R满足下列条件
a)为加法阿贝尔群
b)（结合律）对于任意,有
c)（分配律）对于任意,有
称R为环，记为，如果他对乘法满足交换律，即对任何
称环为交换环
定义设为交换环，表示R中所有非零元的集合，如果在乘法运算下构成交换群，则称为域。
4.3 有限域
定义设F为一个域，如果F只含有有限个元素，称F为有限域，含有q个元素的有限域记为，有限域也成为伽罗华域(Galois field)，用GF(q)或表示q阶有限域。
最简单的有限域是二元域GF(2)={0,1}。
定义对于GF(q)上的每个非零元素，存在最小整数k,使成立，则称为k阶元素。
定义对于GF(q)上的每个非零元素，如果其阶数是q-1,则称为本原元素。
定义上的一个m次多项式，如果他的所有根都是中的本原元素，则称是m次本原多项式。
例如，对于m = 8时上的m次本原多项式为
对于m = 7时上的m次本原多项式为
定义设为中的元素，多项式是上使的最低次多项式，则称为最小多项式。具有相同最小多项式的元素，构成同一共轭系。
4.4 欧几里得算法
欧几里得算法给定两个正整数a,b，可以用欧几里得除法得到其最大公约数(a,b)，并求得A，B，满足(a,b)=Aa+Bb。
用欧几里得除法求(a,b)的步骤如下：
第一步：不失一般性，假设a>b，且令
第二步：用除以得到其商数和余数，亦即
第三步：如果，停止运算，并记；否则，转第二步。
欧几里得算法又被称为辗转相除法，这里是单调下降序列。
用欧几里得算法可以求得A、B，沿用上述除法得到的和n，其方法如下：
第一步：令
第二步：计算
第三步：如果，停止运算，此时,否则转第二步
事实上，只是其中的一个特例。
##5.RS(255,223)编解码算法
5.1字节交织器
5.2 RS(255,223,32)生成方式

##Github项目源码
GitHub链接： https://github.com/RobinLiew/Reed-Solomon-error-correction

使用例子

public class RSErrorCorrectionImpl implements IRSErrorCorrection {private RSEncoder encoder=new RSEncoder();private RSDecoder decoder=new RSDecoder();public static Boolean isCanBeRecovered=true;private byte[] temp=new byte[233];private ByteBuffer buffer=new ByteBuffer() ;private byte[] enTemp=new byte[255];public byte[] rs_encode(byte[] data) {return encoder.encode(data);
}public int rs_decode(byte[] recover, byte[] rsData) {byte[] result = null;result=decoder.decode(rsData);if(!isCanBeRecovered){return 1;}System.arraycopy(result, 0, recover, 0, result.length);return 0;
}public static void main(String[] args){byte[] src=new byte[223];for(int i=0;i<223;i++){src[i]=(byte) new Random().nextInt(255);}byte[] srcdouble=new byte[446];for(int i=0;i<2;i++){System.arraycopy(src, 0, srcdouble, i*223, 223);}IRSErrorCorrection error = new RSErrorCorrectionImpl();byte[] en_data=error.rs_encode(srcdouble);//Deliberately mistaken the values of several data(故意弄错几个数据的值)en_data[0]=0;en_data[1]=4;en_data[3]=0;//byte[] recover = new byte[src.length];byte[] recover = new byte[srcdouble.length];int flag = error.rs_decode(recover,en_data);System.out.println("completion of the test！！！");
}

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