样本均值方差的期望的推导

概率论与数理统计茆诗松第三版 p237页，定理5.3.2

$$
\sigma:总体方差 \quad
\mu:总体均值\
\bar{x} :样本均值 \quad
s^2:样本方差\

E(\bar{x})=E(\frac{1}{n} \sum_i^n x_i)=\frac{1}{n}E(\sum_i^n x_i)=\frac{1}{n}·n·\mu=\mu \
Var(\bar{x})=Var(\frac{1}{n} \sum_i^n x_i)=\frac{1}{n^2}Var(\sum_in x_i)=\frac{1}{n^{2}·n·\sigma}2=\frac{\sigma^2}{n} \ 因为x_i独立同分布，则Var(\sum_i^n x_i)=\sum_i^n Var(x_i)\

E(s^{2)=E\left(\sum_{i=1}}{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{{2}\right)=E\left(\sum_{i=1}}{n} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}\right) \

E\left(x_{i}^{{2}\right)=\left(E\left(x_{i}\right)\right)}{2}+\operatorname{Var}\left(x_{i}\right)=\mu^{2}+\sigma{2}, \
E\left(\bar{x}^{{2}\right)=(E(\bar{x}))}{2}+\operatorname{Var}(\bar{x})=\mu^{2}+\sigma{2} / n \quad
(平方的期望-期望的平方=方差)
\
E(s^{2)=n\left(\mu}{2}+\sigma^{{2}\right)-n\left(\mu}{2}+\sigma^{2} / n\right)=(n-1) \sigma^{2}
$$

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