CLRS第三章思考题

本章思考题证明太繁琐，因此只证明某一些，其余的可类似证明。

思考题3-1

本题只证明前两个，后面可类似得到。
首先，很容易想到 p(n)=Θ(nd)p(n)=\Theta(n^d)，若 k≥dk\geq d，则 Θ(nd)=O(nk)\Theta(n^d)=O(n^k)，若 k≤dk\leq d，则 Θ(nd)=Ω(nk)\Theta(n^d)=\Omega(n^k)。

现在来证明 p(n)=O(nd)p(n) = O(n^d)。设c=ad+bc = a_d + b 使得

∑i=0d=adnd+ad−1nd−1+…+a1n+a0≤cnd

\sum_{i=0}^d = a_dn^d + a_{d-1}n^{d-1} + \ldots + a_1n + a_0 \leq cn^d
两边同时除以 ndn^d 有：

c=ad+b≥ad+ad−1n+ad−2n2+…+a0nd⇒b≥ad−1n+ad−2n2+…+a0nd

c = a_d + b \geq a_d + \frac{a_{d-1}}n + \frac{a_{d-2}}{n^2} + \ldots + \frac{a_0}{n^d} \Rightarrow b \geq \frac{a_{d-1}}n + \frac{a_{d-2}}{n^2} + \ldots + \frac{a_0}{n^d}
选 b=1b = 1， n0=max(dad−1,dad−2−−−−√,…,da0−−√d) n_0 = \max(da_{d-1}, d\sqrt{a_{d-2}}, \ldots, d\sqrt[d]{a_0})

我们有 n0n_0 和 cc 使得 p(n)≤cndfor n≥n0 p(n) \leq cn^d \quad \text{for } n \geq n_0 。
我们得到了 O(nd)O(n^d) 的定义，若选 b=−1b = -1 可类似得到 Ω(nd)\Omega(n^d) ，因此得到 Θ(nd)\Theta(n^d)。

前三问得证。后面两问可类似证明。

思考题3-2

基本上都可以用洛必达法，下面只给出结果。

A	B	O	o	Ω\Omega	ω\omega	Θ\Theta
lgkn\lg^k{n}	nεn^\varepsilon	是	是	否	否	否
nkn^k	cnc^n	是	是	否	否	否
n−−√\sqrt{n}	nsinnn^{\sin n}	否	否	否	否	否
2n2^n	2n/22^{n/2}	否	否	是	是	否
nlgcn^{\lg{c}}	clgnc^{\lg n}	是	否	是	否	是
lg(n!)\lg{(n!)}	lg(nn)\lg{(n^n)}	是	否	是	否	是

思考题3-3

a) 首先化简其中几个式子。

(2√)lgn=2lgn√=n−−√lg2n=2lglg2n=o(22lgn√)lg(n!)=Θ(nlgn)n1lgn=nlg2lgn=nlogn2=2nlglgn=(2lgn)lglgn=(2lglgn)lgn=(lgn)lgn2lgn=n4lgn=(22)lgn=2lgn2=n2

\begin{align} &(\sqrt{2})^{\lg n}=2^{\lg{\sqrt n}}=\sqrt n\\ &\lg^2{n}=2^{\lg{\lg^2 n}}=o(2^{\sqrt{2\lg n}})\\ &\lg{(n!)}=\Theta(n\lg n)\\ &n^{\frac{1}{\lg n}}=n^{\frac{\lg 2}{\lg n}}=n^{\log_n2}=2\\ &n^{\lg{\lg n}}=(2^{\lg n})^{\lg{\lg n}}=(2^{\lg{\lg n}})^{\lg n}=(\lg n)^{\lg n}\\ &2^{\lg n}=n\\ &4^{\lg n}=(2^2)^{\lg n}=2^{\lg{n^2}}=n^2 \end{align}
在此省略公式编辑，故从左到右，从上到下依次编号为 1,2,…,301,2,\dots ,30。复杂度从低到高依次为：

{12,18},1,{14,25},2,13,24,17,9,26,3,{19,27},{10,29},{4,22},8,6,{16,20},7,28,15,21,5,23,11,30

\{12,18\},1,\{14,25\},2,13,24,17,9,26,3,\{19,27\},\{10,29\},\{4,22\},8,6,\{16,20\},7,28,15,21,5,23,11,30
说明：大括号内部表示复杂度一样。

b) f(n)=22(n+1)sinxf(n)=2^{2^{(n+1)\sin x}}

思考题3-4

a) 错误，n=O(n2)n=O(n^2)，反过来就不是。
b) 错误，反例：n,n2n,n^2。
c) 正确，由题得：
∃c,n0:∀n≥n0:0≤f(n)≤cg(n)⇒ 0≤lgf(n)≤lg(cg(n))=lgc+lgg(n)\exists c, n_0 : \forall n \geq n_0 : 0 \leq f(n) \leq cg(n) \Rightarrow \ 0 \leq \lg{f(n)} \leq \lg(cg(n)) = \lg{c} + \lg{g(n)}

现在需要证明 lgf(n)≤dlgg(n) \lg{f(n)} \leq d\lg{g(n)} ，由于 lgg(n)≥1\lg{g(n)} \geq 1，只需证明 d≥lgf(n)lgg(n)d\geq \frac{\lg{f(n)}}{\lg{g(n)}}，很容易得到 dd :

d=lgc+lgg(n)lgg(n)=lgclgg+1≤lgc+1

d = \frac{\lg{c} + \lg{g(n)}}{\lg{g(n)}} = \frac{\lg{c}}{\lg{g}} + 1 \leq \lg{c} + 1
d) 错误，反例 f(n)=2n,g(n)=nf(n)=2n,g(n)=n。
e) 错误，当 f(n)<1f(n) 时即错。
f) 正确，由题得 0≤f(n)≤cg(n) 0 \leq f(n) \leq cg(n) ，要证明 0≤df(n)≤g(n) 0 \leq df(n) \leq g(n) ，取 d=1/cd = 1/c 即可。
g) 错误，反例 f(n)=2nf(n)=2^n。
h) 正确，f(n)+o(f(n))=Θ(max(f(n),o(f(n))))=Θ(f(n))f(n)+o(f(n))=\Theta(max(f(n),o(f(n))))=\Theta(f(n))。

思考题3-5

a) 比较 cg(n)≤f(n)cg(n)\leq f(n)，要么对无穷多个整数成立，要么对有限个成立，若前者成立，则有 Ω∞\mathop{\Omega}^{\infty}。若后者成立，则有 n0n_0 使得 ∀n>n0:f(n)<cg(n)\forall n>n_0:f(n)。若 f(n)=g(n)f(n)=g(n) 则两者都成立。
换成 Ω\Omega 则不成立，如 n=Ω∞(nsinn)n = \mathop{\Omega}^{\infty}(n^{\sin{n}})，但 n≠Ω(nsinn)n \neq \Omega(n^{\sin{n}})

b) 优点：可以刻画所有函数之间的关系；
缺点：刻画不精确。

c) 对于任意两个函数 f(n)f(n) 和 g(n)g(n)，若有 f(n)=Θ(g(n))f(n)=\Theta(g(n)) 则有 f(n)=Ω(g(n))f(n)=\Omega(g(n)) 和 f(n)=O′(g(n))f(n)=O'(g(n))。

d) Ω∞(g(n))={f(n):存在正常数c,k,n0使得∀n≥n0有0≤cg(n)lgk(n)≤f(n)}\mathop{\Omega}^{\infty}({g(n)})=\{f(n):存在正常数 c,k,n_0 使得 \forall n\geq n_0 有 0\leq cg(n)\lg^k{(n)}\leq f(n)\}

Θ~={f(n):∃c1,c2,k1,k2,n使得∀n≥n0有0≤c1g(n)lgk1(n)≤f(n)≤c2g(n)lgk2(n)}\tilde{\Theta} = \lbrace f(n) : \exists c_1, c_2, k_1, k_2, n 使得 \forall n \geq n_0 有 0 \leq c_1g(n) \lg^{k_1}(n) \leq f(n) \leq c_2g(n) \lg^{k_2}(n)\rbrace

对于任意两个函数 f(n)f(n) 和 g(n)g(n)，我们有 f(n)=Θ~(g(n))f(n)=\tilde{\Theta}(g(n))，当且仅当 f(n)=O~(g(n))f(n)=\tilde{O}(g(n)) 且 f(n)=Ω~(g(n))f(n)=\tilde{\Omega}(g(n))。

思考题3-6

f(n)f(n)	c	f∗c(n)f^*_c(n)
n−1n-1	0	n
lgn\lg n	11	lg∗n\lg^*{n}
n/2n/2	11	⌈lgn⌉\lceil \lg n\rceil
n/2n/2	22	⌈lgn⌉−1\lceil \lg n\rceil -1
n−−√\sqrt n	22	lglgn\lg{\lg n}
n−−√\sqrt n	11	不收敛
n1/3n^{1/3}	22	log3lgn\log_3\lg n
n/lgnn/\lg n	22	ω(lglgn),o(lgn)\omega(\lg\lg{n}), o(\lg{n})